dont les dérivées partielles existent et sont continues
Alors f différentiable et on a :
Donc la différentielle, s'exprime à l'aide des dérivées partielles.
Edit : c'est pas daf mais df tout simplement !
J'ai pas envie de retaper toute la formule
Differentiabilité !
25 messages
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par Joker62 » 31 Oct 2007, 13:10
Alors soit f de R^n dans (E,||.||)
dont les dérivées partielles existent et sont continues
Alors f différentiable et on a :
Donc la différentielle, s'exprime à l'aide des dérivées partielles.
Edit : c'est pas daf mais df tout simplement !
J'ai pas envie de retaper toute la formule
dont les dérivées partielles existent et sont continues
Alors f différentiable et on a :
Donc la différentielle, s'exprime à l'aide des dérivées partielles.
Edit : c'est pas daf mais df tout simplement !
J'ai pas envie de retaper toute la formule
par barbu23 » 01 Nov 2007, 09:14
Bonjour :
Théorème :
Soit
et 
deux espaces vectoriels normés et 
un ouvert de .
Soit
.
On suppose que
admet une differentielle d'ordre 
au point 
.
Alors :
^{2}}.(f(a+u+v)-f(a+u)-f(a+v)+f(a)-D^{2}f(a)(u,v)) $)
tend ves 
quant 
et 
.
En particulier: $)
est bilineaire symetrique.
i.e :
: (u,v) = D^{2}f(a)(v,u) $)
Preuve :
 $)
existe  \hspace{10cm} \forall x \in B(0,r) $)
:
 - Df(a) - D^{2}f(a)(x) || \leq \epsilon .||x|| $)
Soient
tels que : : 
et 
$
-f(a+u)-f(a+v)+f(a)-D^{2}f(a)(u,v) || \leq \epsilon .(||u||+||v||) $)
Posons : = f(a+u+v)-f(a+u)-f(a+v)+f(a)-D^{2}f(a)(u,v) $)
est un paramètre.
Comme existe alors  $)
existe pour 
assez petit.
D'où :
est differentiable sur un voisinage de  $)
 = Df(a+u+v) - Df(a+u) - D^{2}f(a)(v) $)
la suite je vais pas l'écrire parcequ'elle est un peu longue .. mais c'est surtout cette partie qui m'inteesse .. !
Alors, mes questions sont :
 $)
Pourquoi  $)
existe pour assez petit.
 $)
Pourquoi est differentiable sur un voisinage de .
 $)
Comment on a calculé : 
?
Merci infiniment de votre aide !!
Théorème :
Soit
Soit
On suppose que
Alors :
En particulier:
i.e :
Preuve :
Soient
Posons :
Comme
D'où :
la suite je vais pas l'écrire parcequ'elle est un peu longue .. mais c'est surtout cette partie qui m'inteesse .. !
Alors, mes questions sont :
Merci infiniment de votre aide !!
par tize » 01 Nov 2007, 10:31
Bonjour,
1))
existe pour 
assez petit car 
est deux fois différentiable, en effet dire que est deux fois différentiable en 
implique l'existence de 
bilinéaire telle que :
-Df_a(v)-D^2f_a(u,v)||_F\leq ||u||_E||v||_E\epsilon(u))
mais pour que cette définition ait un sens il faut que )
existe pour 
dans un voisinage de puisque 
.
En fait même si ça n'est pas dit explicitement l'existence de
en un point sous entend que est différentiable au voisinage de
2) = f(a+u+v)-f(a+u)-f(a+v)+f(a)-D^{2}f(a)(u,v))
est donc une somme d'applications différentiables, de constante ()
) et d'une application linéaire en 
: (u,v))
; est donc différentiable.
3) Calculer)
est assez simple il suffit de différentier )
, )
, +f(a))
est une constante par rapport à et est donc de différentielle nulle, (u,v))
est linéaire en elle est donc différentiable de différentielle elle même.
1)
En fait même si ça n'est pas dit explicitement l'existence de
2)
3) Calculer
par barbu23 » 01 Nov 2007, 14:05
Salut "tize" :
Je ne comprends bien ce que tu ecris en : ( Voiçi comment je vois les choses moi .. Donc, si j'ai des erreurs, n'hesite pas de me les mentionner )
Alors :
admet une differentielle d'ordre au point 
... signifie que est differentiable au point donc il existe une application linéaire  = L_{a} $)
tel que :
-f(a) - Df(a)(x-a) = o(||x-a||) $)
D'où l'existence de la derivée première s'il est derivable sur tout :
} $)
 \hspace{10cm} : \hspace{10cm} E \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{10cm} F $)
(h) $)
.
$\ Df $ est de nouveau differentiable au point ,alors (a) $)
existe et est notée  $)
c'est à dire il existe une application lineaire (a) $)
tel que : -Df(a) - D(Df)(a)(y-a) = o(||y-a||) $)
Alors est ce que ce que j'ai ecrit est correct, et comment à partir de ce que j'ai ecrit arriver à l 'expression que tu as ecrit en.
Merci beaucoup "tize" !!
Je ne comprends bien ce que tu ecris en
Alors :
D'où l'existence de la derivée première s'il est derivable sur tout
$\ Df $ est de nouveau differentiable au point
Alors est ce que ce que j'ai ecrit est correct, et comment à partir de ce que j'ai ecrit arriver à l 'expression que tu as ecrit en
Merci beaucoup "tize" !!
par tize » 01 Nov 2007, 16:21
On a la même chose mais attention quand tu écris :
-Df(a) - D(Df)(a)(y-a) = o(||y-a||) =||y-a||\epsilon(y-a))
à gauche tu as une application linéaire et à droite un nombre positif !!!
Pour y remédier et faire en sorte que la formule soit vrai on applique l'application linéaire de gauche à un vecteur et on ajoute une norme :
(v)-Df(a)(v) - D(Df)(a)(y-a)(v)|| = ||v||.o(||y-a||))
on a multiplié par 
à droite par continuité des applications linéaires de gauche...
On a donc à peu de chose près la même chose et) \sim \mathcal{L}( E\times F))
à gauche tu as une application linéaire et à droite un nombre positif !!!
Pour y remédier et faire en sorte que la formule soit vrai on applique l'application linéaire de gauche à un vecteur et on ajoute une norme :
On a donc à peu de chose près la même chose et
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