Différentiabilité !

[toupou4]

[B]salut !je me ss bloqué dans un truc en cherchant la démonstration de "est ce que le produit de deux fonctions différentiables est une fonction différentiable?"
f(x,y)=g(x,y)*h(x,y) /
par déffinition:
g(M+H)-g(M)=L1(H)+||H||;)1(H)
et
h(M+H)-h(M)=L1(H)+||H||;)2(H)

j'ai remplacer mais a la fin je suis tombée sur un truc qu'il faut le démontrer qu'il est linéaire !comment? je ne sais pas! :hum:
merci je réfléchir avec moi ! :we:

[serge75]

Je pose X=(x,y) et h=(h1,h2). Par coqueterie, je modifie tes notations et suppose f et g différentiables, de différentielles respectives Lf et Lg
Alors (fg)(X+h)-(fg)(X)=f(X+h)[g(X+h)-g(X)]+g(X)[f(X+h)-f(X)]
On obtient alors :
f(X+h)[Lg(h)+o(h)]+g(X)[Lf(h)+o(h)]=[f(X)+o(h)][Lg(h)+o(h)]+g(X)[Lf(h)+o(h)]
(J'ai utilisé que la différentiabilité de f entrîne sa continuité)
Je regroupe alors les o(h) et j'obtiens :
f(X)Lg(h)+g(X)Lf(h)+o(h) (j'ai utilisé que Lg(h) est bornée au voisinage de 0).
Or l'application qui à h associe f(X)Lg(h)+g(X)Lf(h) est linéaire, et c'est fini.
Serge

[toupou4]

merci beaucoup pour l'idée :id: c'est ce qu'il me faudrai ! c'est très gentil de ta part !