Différentiabilité
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Dylaa2n
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par Dylaa2n » 28 Mai 2015, 17:29
Bonjour,
On me demande de calculer la différentielle d'une fonction mais j'ai un peu de mal à prouver que celle-ci est différentiable en (0,0). La fonction est la suivante :
=1+e^x\ln (1+x-3y))
En calculant la limite :
 \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)-L[h]}{\sqrt{dx^2+dy^2}})
avec h =(dx,dy) et
que j'ai obtenu en calculant les dérivées partielles auparavant, je n'aboutis à rien...
J'ai pensé aussi pouvoir prouver que la fonction était différentiable en montrant que les dérivées partielles existent au point a (déjà fait) ainsi qu'en montrant qu'il existe un réel r strictement positif tel que toutes les dérivées partielles de f existent et sont continues pour tous les points appartenant à la boule ouverte B(a;r) mais je ne vois pas comment prouver cela...
Les seuls points critiques selon moi sont ceux pour lesquels : 1+x-3y<=0 , mais que faire de cela ensuite?
Merci beaucoup pour votre aide
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Ben314
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par Ben314 » 28 Mai 2015, 17:41
Salut,
Il n'y a (quasiment) rien à dire, (a moins que tu ne tienne absolument a montrer que f est différentiable avec la définition, pour mieux comprendre comment elle marche) :
La fonction f est clairement définie pour tout (x,y) tel que 1+x-3y>0 et elle est partout différentiable sur ce domaine car composée de fonction différentiables.
Si tu tient vraiment à en écrire "plus", tu peut écrire qu'il est clair que, pour x fixé, la fonction y->f(x,y) est C1 (i.e. dérivable à dérivée continue) sur son domaine de définition (car composée de fonction C1) et, de même, pour y fixé, la fonction x->f(x,y) est C1 (car composée de fonction C1).
Les deux dérivées partielles existent et sont continues sur le domaine de définition de f donc f est différentiable.
Il reste à vérifier que (0,0) est bien dans le domaine de définition : 1+0-3*0=1 > 0 donc O.K.
Je sais pas combien tu écrirais de lignes pour justifier que t->exp(t)*sin(t) est dérivable sur R, mais il t'en faut exactement autant ici.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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mathelot
par mathelot » 28 Mai 2015, 18:11
on peut également ajouter que l'ouvert de définition de f
est voisinage de l'origine O(0;0)
l'origine O est située à une distance
de la droite d'équation
.
Calcul de la différentielle
 \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)h+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)k)
=e^x \left( ln(1+x-3y) + \frac{1}{1+x-3y} \right))
=e^x \frac{-3}{1+x-3y})
 \mapsto h-3k)
La meilleure approximation affine est
 \mapsto 1+h-3k)
sinon, on utilise les DL2(0,0) de la fonction
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Dylaa2n
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par Dylaa2n » 28 Mai 2015, 18:23
Merci pour vos réponses, cela me parait maintenant plus évident que la fonction est bel et bien différentiable en (0,0) :happy2:
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mathelot
par mathelot » 28 Mai 2015, 18:25
définition: dans un espace topologique, est voisinage d'un point x_0
tout sous ensemble W contenant un ouvert U contenant x_0.
Il y a des définitions axiomatiques des voisinages
(par exemple, tout sous ensemble contenant un voisinage ou l'intersection de deux voisinages
de x0 est encore un voisinage de x0).
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