Différentiabilité

[Ncdk]

Après avoir montré la continuité (si elle ne l'est pas c'est pas la peine d'aller plus loin), le premier truc que je ferais, c'est de calculer les dérivées partielles en (0,0) (si elles existent)

Pourquoi on peut pas continuer si la fonction n'est pas continue en (0,0), ça veut dire que c'est pas différentiable en ce même point ?

Pourtant c'est la différentiabilité qui implique la continuité non ?

[Ncdk]

Pour montrer qu'elle est différentiable, il faudrait montrer que

ce qui, dans le contexte présent, signifie

Je n'arrive pas à trouver un contre-exemple comme quoi cette limite est différente de 0...

[Maxmau]

Pourquoi on peut pas continuer si la fonction n'est pas continue en (0,0), ça veut dire que c'est pas différentiable en ce même point ?

Pourtant c'est la différentiabilité qui implique la continuité non ?

donc une fonction non continue n'est pas différentiable

[Maxmau]

Je n'arrive pas à trouver un contre-exemple comme quoi cette limite est différente de 0...

fais tendre (h,k) vers (0,0) en restant sur la droite y = mx. tu verras que la limite dépend de m.
Donc pas de limite lorsque (h,k) vers (0,0) de quelque manière que ce soit (cad lorsque ||(h,k)|| tend vers zéro) et certainement pas de limite nulle.

[barbu23]

ah bon ?........?..........(ça concerne cette observation de barbu23 à mon précédent message)

Je ne saurai trop encourager Ncdk à lire les messages de ben314

Peux tu m'indiquer où se situe exactement mon erreur ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

C'est cette méthode que nous utilisons généralement...

J'aimerais bien savoir qui désigne le "nous" en question : à part toi, je n'imagine personne d'assez tordu pour calculer la dérivée de la fonction au point 0 en utilisant une série entière (ce qui, au fond, signifie que pour montrer qu'elle est dérivable en un point tu part du fait qu'elle de classe C^infini... :mur:). N'importe qui d'un peu sensé utiliserais bêtement la définition et calculerais .

...parce que pas toutes les matrices sont inversibles, et donc, il n'y'a pas moyen de calculer les dérivées partielles en un point

Du "vrai Barbu", c'est à dire... du grand n'importe quoi... : on peut tout aussi facilement calculer les dérivées partielles de fonction entre espaces de matrice que pour les fonctions de R^n dans R^m et pour une raison totalement évidente : les espaces de matrices SONT des R^n. La non commutativité du produit matriciel et le fait que certaine matrices n'admettent pas d'inverse pour le produit ne change évidement rien au problème vu que dans la définition de la différentielle, il n'y a pas de produit... :marteau:

Mais, il se trouve que des fois, cette méthode ne fonctionne pas aussi, parce que l'expression de l'application est un peu compliqué.

Ah, là c'est un peu sensé, à part évidement le "des fois cette méthode ne fonctionne pas" qui est à remplacer par "cette méthode est très rarement efficace"

[barbu23]

Du "vrai Barbu", c'est à dire... du grand n'importe quoi... : on peut tout aussi facilement calculer les dérivées partielles de fonction entre espaces de matrice que pour les fonctions de R^n dans R^m et pour une raison totalement évidente : les espaces de matrices SONT des R^n. La non commutativité du produit matriciel et le fait que certaine matrices n'admettent pas d'inverse pour le produit ne change évidement rien au problème vu que dans la définition de la différentielle, il n'y a pas de produit... :marteau:

J'aimerai savoir comment tu réussirais à calculer la différentielle de l'application dans l'espace vectoriel des matrices à l'aide des dérivées partielles ?

[Ben314]

Je prend la base "naturelle" des matrices nxn, c'est à dire les entièrement nulle sauf sur la ligne i et la colonne j où il y a un 1 et je fait... la même chose que dans R^n en considérant les coordonnées dans cette base.
C'est plus long qu'en utilisant le produit matriciel, mais ça marche quand même parfaitement bien.

[barbu23]

Je prend la base "naturelle" des matrices nxn, c'est à dire les entièrement nulle sauf sur la ligne i et la colonne j où il y a un 1 et je fait... la même chose que dans R^n en considérant les coordonnées dans cette base.
C'est plus long qu'en utilisant le produit matriciel, mais ça marche quand même parfaitement bien.

La différentielle en est l'application linéaire définie par : .
J'ai du mal à voir comment on peut exprimer facilement ou à l'aide des dérivées partielles.

N'est ce pas toi toi qui a affirmé ça :

J'aimerais bien savoir qui désigne le "nous" en question : à part toi, je n'imagine personne d'assez tordu pour calculer la dérivée de la fonction au point 0 en utilisant une série entière (ce qui, au fond, signifie que pour montrer qu'elle est dérivable en un point tu part du fait qu'elle de classe C^infini... :mur:). N'importe qui d'un peu sensé utiliserais bêtement la définition et calculerais .

N'est ce pas toi qui complique les choses là ? :marteau:

[Ncdk]

Mais concernant cette méthode, vu que je commence la différentiabilité, elle est plutôt efficace vu qu'ils vont nous donner des choses relativement simple comme fonction.

En effet, on commence depuis 1 mois les fonctions à deux variables, donc les choses compliqué pour le moment, on en a pas, même sur les exos de types prépa, y a toujours des fonctions relativement compréhensible et pas trop dur au final, seul les dérivées partielles sont assez "chiante" mais après ça va, mais c'est vrai que plus f est une fonction assez lourde, plus la limite à la fin sera compliqué à calculer c'est pas faux :)

[Ben314]

Tient j'avais pas fait gaffe à celle là :

...c'est pourquoi, il y'a eu cette intervention vicieuse dans l'objective d'écraser la crédibilité de mes dires....

Donc, si je comprend bien lorsque l'on signale a des étudiant qu'a peu prés tout ce que tu raconte est inepte (au mieux, totalement à coté de la plaque), ce n'est pas du tout pour aider les étudiants en question (ça serait bien trop simple), mais uniquement pour te faire c...

[barbu23]

Mais concernant cette méthode, vu que je commence la différentiabilité, elle est plutôt efficace vu qu'ils vont nous donner des choses relativement simple comme fonction.

En effet, on commence depuis 1 mois les fonctions à deux variables, donc les choses compliqué pour le moment, on en a pas, même sur les exos de types prépa, y a toujours des fonctions relativement compréhensible et pas trop dur au final, seul les dérivées partielles sont assez "chiante" mais après ça va, mais c'est vrai que plus f est une fonction assez lourde, plus la limite à la fin sera compliqué à calculer c'est pas faux

La bonne méthode t'a été proposé par zygomatique.
Il applique la définition de la différentielle d'une application au point
C'est à dire :
est différentiable en si et seulement si :
il existe une application linéaire et une application reste qui tend vers lorsque tend vers telle que :
.
C'est la méthode traditionnelle utilisée en L1/L2.
et .
Et je m'excuse encore une fois de t'avoir induit en erreur hier. :happy3:

[Ben314]

Mais concernant cette méthode, vu que je commence la différentiabilité, elle est plutôt efficace vu qu'ils vont nous donner des choses relativement simple comme fonction.

En effet, on commence depuis 1 mois les fonctions à deux variables, donc les choses compliqué pour le moment, on en a pas, même sur les exos de types prépa, y a toujours des fonctions relativement compréhensible et pas trop dur au final, seul les dérivées partielles sont assez "chiante" mais après ça va, mais c'est vrai que plus f est une fonction assez lourde, plus la limite à la fin sera compliqué à calculer c'est pas faux

En fait, non, là, les fonction qu'on te donne sont parmi les plus c... possibles au niveau de la différentiabilité et c'est tout à fait normal, c'est pour que tu apprenne à te servir de la définition dans les cas "pathologiques" où les théorèmes ne s'appliquent pas. Ensuite, tu aura beaucoup plus souvent des cas "normaux" comme par exemple le cas de l'application A->A^3 matriciel où il n'y a pas besoin de revenir à la définition pour montrer que l'application est différentiable.

Mais je ne saurais que t'inciter fortement à ne pas faire ce que barbu a fait dans a peu prés tout les domaines, c'est à dire à considérer que les exo "de base" était trop chiant et trop compliqué pour lui et qu'il allait directement aller regarder les chapitres suivant en ayant rien compris à celui là.
Le bilan, c'est que, quelque soit l'exo, il utilise systématiquement (et en plus de travers) des théorème style "marteau pour écraser des mouches" comme juste au dessus où il suggère d'utiliser un développent en série entière pour montrer la simple dérivabilité d'une fonction.
Le résultat d'une telle méthode, je pense que tu peut tout à fait le voir par toi même en comptant le nombre de fois où il arrive à donner une réponse juste a une question.
Après, évidement, c'est toi qui voit...

[barbu23]

Tient j'avais pas fait gaffe à celle là : Donc, si je comprend bien lorsque l'on signale a des étudiant qu'a peu prés tout ce que tu raconte est inepte (au mieux, totalement à coté de la plaque), ce n'est pas du tout pour aider les étudiants en question (ça serait bien trop simple), mais uniquement pour te faire c...

C'est simple alors. Je ne vas plus intervenir désormais. Qu'est ce que j'ai à perdre.
Ncdk, laisse tomber ce qui s'est passé hier, et recommence du début, essaye d'organiser un peu ton esprit à l'aide de ce qui t'a été dit par les autres intervenants. Le calcul différentiel n'est pas difficile, tu te rendras compte qu'en reprenant deux ou trois exercices de ce genre, tu t’habitueras à l'idée qui permet d'établir la différentielle en un point . Utilises :
- Soit la définition, en calculant .
- Soit à l'aide des dérivées partielles.
Tu n'as pas à te perdre si tu comprends ces deux méthodes finalement.
Si ce n'est l'une, c'est l'autre.
Voilà, et le problème est réglé.

Cordialement. :happy3:

[barbu23]

Je prend la base "naturelle" des matrices nxn, c'est à dire les entièrement nulle sauf sur la ligne i et la colonne j où il y a un 1 et je fait... la même chose que dans R^n en considérant les coordonnées dans cette base.
C'est plus long qu'en utilisant le produit matriciel, mais ça marche quand même parfaitement bien.

Ben35, avant de me critiquer, essaye de reprendre ce que tu dis ici, et de te rendre compte de l'énormité que tu profères là. C'est pas de cette manière qu'on calcule la différentielle de en .

[Ncdk]

D'accord merci pour toutes les aides, mais il est pas préférable de passer par les dérivées partielles, justement pour déjà voir si elles existent, si une n'existent pas alors on peut déduire que l'application est pas différentiable en ce point.

Après ça permet d'obtenir L, donc la différentielle au point que l'on veut, et faut juste prouver que ce L est cohérent grâce à la définition, donc que la limite que l'on obtient est bien celle que l'on cherchais au final, quand c'est vérifié c'est bon, l'application est bien différentiable au point que l'on s'intéresse, à l'inverse, elle est pas différentiable car la condition nécessaire et suffisante (si je dis pas d'anneries) que la limite doit tendre vers 0 ne tend pas vers cette limite.

Une dernière chose, en fait si on fait le cas général, donc qu'on étudie :



Le égale 0 c'est pour tous les cas, donc si on étudie la différentiabilité en (1,1) par exemple, la limite devra quand même tendre vers 0 pour que L(h,k) soit la différentielle au point (1,1) ?

Je sais pas si vous voyez ce que je veux dire

[barbu23]

J'espère que tu trouveras quelqu'un pour t'aider, j'aurai aimer le faire, mais, je ne peux pas, car je ne sais pas si ce que je vais dire est correct ou non, et tu sais bien d'ailleurs, leur stratégie : si tu fais une erreur, tu n'échapperas pas à leur tumultes.
Même Ben23 se retire de cette discussion et n'a pas au fond l'intention de t'aider, mais juste de venir imposer son orgueil. Si il avait l'intention de t'aider, il aurait intervenu de la même manière et avec rapidité dès tu as posté ton message, de la même façon quant j'interviens moi et qu'elle s'avère faux c eque je dis.
J'espère qu'il y'aura quelqu'un pour t'aider. Ce n'est pas difficile le calcul différentiel. Bon, tu vas t'en rendre compte à fur et à mesure en avançant dans le cours.

Bonne chance. :happy3:

[Ben314]

C'est bien ça.
Et le fait que "si ça marche pas c'est foutu" et autre "la condition nécessaire et suffisante" résulte du fait que ce que tu as écrit là, c'est la définition et qu'une définition, c'est toujours une équivalence, même si des fois, pour que ce soit plus joli, on écrit des trucs du style "on dit que f est trucbidule lorsque ..."

[chan79]

Juste un dessin pour montrer qu'on aurait effectivement du mal à placer un plan tangent à la surface en (0,0,0)

[barbu23]

Nsdk :
Peux tu me dire si tu es en L2 ou L3, si ce n'est indiscret ? Parce que le cours du calcul différentiel L2 n'est pas le même cours du calcul différentiel L3. En calcul différentiel L3, on ajoute la différentiabilité dans des espaces vectoriels normés, c'est à dire au lieu d'utiliser la définition qui consiste à dire que :

on se permet d'utiliser les normes dans les espaces d'arrivées :

Et on introduit d'autres espaces qui est parfois non commutatives, par exemple l'espace des matrices. Si tu es encore en L2, alors, oublie complètement ce que j'ai dit à propos des matrices.

Cordialement. :happy3: