Différentiabilité

[barbu23]

Mais dis moi, on peut prouver aussi que la fonction est pas différentielle ou différentielle selon les fonctions qu'on a, grâce aux dérivées partielles ? Les dérivées partielles je sais qu'on s'en sert pour prouver que f est de classe mais bon...

Je n'ai pas encore répondu à ta question : :hum:
Oui, les dérivées partielles, on s'en sert pour prouver que . :happy3:

[Ncdk]

Je n'ai pas encore répondu à ta question : :hum:
Oui, les dérivées partielles, on s'en sert pour prouver que . :happy3:

En tout cas merci, je vais pouvoir enchaîner les exercices

Merci bien

[barbu23]

En tout cas merci, je vais pouvoir enchaîner les exercices

Merci bien

Avec plaisir. :lol3:
Souviens toi aussi d'un truc que tu verras peut être quant tu seras en cycle de Master.
- Au lycée, on apprend à dériver par rapport à seulement deux directions et , ce sont les directions de la droite réelle vectorielle .
- En cycle de Licence, on apprend à dériver par rapport à des directions qui sont des droites vectorielles de la forme : si on se place dans l'espace vectoriel , et sur des droites vectorielles de la forme : si on se place dans l'espace vectoriel ou dans n'importe quel espace vectoriel de dimension finie puisqu'il est isomorphe à .
- En cycle de Master, c'est vachement très beau ce que tu vas découvrir, on s'arrête de travailler dans des espaces vectoriels, et on les remplaces par des variétés ( courbes, surfaces, sous variétés, hypersurfaces, variété ), et les directions représentés par les droites vectorielles sont remplacés par des vecteurs tangents représentés par, au lieu des droites, des courbes avec la variété qui remplace la notion d'espace vectoriel.
En particulier, on peut remarquer que, si on pose : ( Une droite est un cas particulier de courbes ), alors : qui est la direction de la droite, ( puisque c'est le vecteur tangent au point , de la courbe qui appartient à la variété ) et le point par lequel passe la droite .

J'espère que cela te plaît de découvrir ça. :we:
Prépare toi pour te lancer dans le monde merveilleux de la géométrie différentielle quant tu arriveras au cycle de Master un jour, et qui se base sur cette idée de différentiabilité sur des variétés, donc, sur des trucs qui généralisent la notion d'espaces vectoriels. :happy3:

Cordialement. :happy3:

[Ncdk]

Avec plaisir. :lol3:
Souviens toi aussi d'un truc que tu verras peut être quant tu seras en cycle de Master.
- Au lycée, on apprend à dériver par rapport à seulement deux directions et , ce sont les directions de la droite réelle vectorielle .
- En cycle de Licence, on apprend à dériver par rapport à des directions qui sont des droites vectorielles de la forme : si on se place dans l'espace vectoriel , et sur des droites vectorielles de la forme : si on se place dans l'espace vectoriel ou dans n'importe quel espace vectoriel de dimension finie puisqu'il est isomorphe à .
- En cycle de Master, c'est vachement très beau ce que tu vas découvrir, on s'arrête de travailler dans des espaces vectoriels, et on les remplaces par des variétés ( courbes, surfaces, sous variétés, hypersurfaces, variété ), et les directions représentés par les droites vectorielles sont remplacés par des vecteurs tangents représentés par, au lieu des droites, des courbes avec la variété qui remplace la notion d'espace vectoriel.
En particulier, on peut remarquer que, si on pose : ( Une droite est un cas particulier de courbes ), alors : qui est la direction de la droite, ( puisque c'est le vecteur tangent au point , de la courbe qui appartient à la variété ) et le point par lequel passe la droite .

J'espère que cela te plaît de découvrir ça. :we:
Prépare toi pour te lancer dans le monde merveilleux de la géométrie différentielle quant tu arriveras au cycle de Master un jour, et qui se base sur cette idée de différentiabilité sur des variétés, donc, sur des trucs qui généralisent la notion d'espaces vectoriels. :happy3:

Cordialement. :happy3:

Je vais déjà me contenter de réussir ma licence :p mais merci pour l'information

[barbu23]

Je vais déjà me contenter de réussir ma licence :p mais merci pour l'information

Oui, mais j'ai oublié de dire une chose que je vois plus important que ce que j'ai dit tout à l'heure : :hum:
Si est une fonction différentiable en un point de la variété de dimension , alors la différentielle en par est, par définition :
.
au lieu de : .
Ce qui change c'est la droite qui devient une courbe : qui généralise la notion de droite vectorielle ou direction.
Ainsi, je m'en aille tout en restant rassuré que tu comprendra ce que je cherche à t'expliquer. :lol3:

[Ben314]

Si on démontre que : la quantité : qui ne dépend pas de et , et non pas la limite : qui ne dépend pas de et ... alors elle est différentiable en .

Non, c'est faux : si f est différentiable en (0,0), alors la limite en question est une application linéaire par rapport à h et à k et, il n'y a que trés peu de rapport entre une application constante (qui n'est pas linéaire si la constante n'est pas nulle) et une application linéaire (qui n'est pas constante si elle est non nulle ce qui est le cas le plus fréquent).

Pour ce type d'exo, on commence par "balancer" que c'est C^1 partout où la fonction est "composée de fonction de classes C1 : comme les profs veulent pas se faire chier, c'est assez systématiquement tout les points sauf (0,0).
Ensuite, on commence évidement par regarder la continuité de la fonction aux points qui "posent problème" (donc très souvent... en (0,0))
Ensuite, on regarde si les dérivées partielles en x et en y existent ou pas en ces points là. Si elles existent pas toutes les deux -> fin.
Ensuite, ça dépend de l'énoncé : si on demande de montrer que f est de classe C1, on calcule les dérivées partielles ailleurs qu'au point qui pose problème et on montre que les dérivées partielles sont continues ce qui (théorème) montre que f est C1.
Si c'est uniquement demandé de montrer qu'elle est différentiable (voire pire, si la question suivante est "est-elle C1 ?"), ça sent le brulé : il y a de forte chance qu'elle soit différentiable mais pas C1.
Pour montrer qu'elle est différentiable (sans forcément être C1), y'a pas trop le choix : la définition.
Vu qu'on a déjà calculé les dérivées partielle, on sait quelle est la seule application linéaire L susceptible d'être la différentielle et on essaye de majorer |f(xo+h,yo+k)-L(h,k)| pour montrer que c'est en o(||(h,k)||).
Si on pense qu'en fait elle n'est pas différentiable en (xo,yo), on peut tenter le coup de la Gâteau différentiabilité, c'est à dire de calculer la limite dont parle Barbu. Si la limite obtenue n'est pas une application linéaire en (h,k) alors c'est foutu. Le problème, c'est que si c'est effectivement linéaire en (h,k), ben ça prouve pas pour autant qu'elle est différentiable en (xo,yo) ni même qu'elle est continue d'ailleurs : cherche "Gâteau différentiabilité sur le net" et, sur chaque site qui en parle, tu trouvera au moins un contre exemple.

Donc

Donc quand on passe à la limite, le résultat dépend de h et k, vu que t n’apparaît plus, alors on en déduit que la limite est différente de 0, donc f est pas différentiable en (0,0)

C'est le bon raisonnement ?

Par exemple là, non, ce n'est pas du tout le "bon raisonnement" : le fait que la limite (encore que ici, il n'y a même pas besoin de passer à la limite...) dépende de h et k ne donne aucune information (à part le minuscule fait que, si f est différentiable, sa différentielle n'est pas nulle)
A la rigueur, si tu as calculé avant les deux dérivées partielles en (0,0) et que tu les as trouvées toutes les deux nulles, ce qui montrerais que, si elle est différentiable, sa différentielle est nulle, tu pourrait conclure par le seul argument que ton truc n'est pas toujours nul.

Mais en fait, c'est pas utile ici vu que le fait que la formule que tu obtient n'est pas linéaire en h,k (i.e. pas de la forme ah+bk) prouve que f n'est pas différentiable.

[barbu23]

Non, c'est faux : si f est différentiable en (0,0), alors la limite en question est une application linéaire par rapport à h et à k et, il n'y a que trés peu de rapport entre une application constante (qui n'est pas linéaire si la constante n'est pas nulle) et une application linéaire (qui n'est pas constante si elle est non nulle ce qui est le cas le plus fréquent).

Le faux introduit brutalement dans cette discussion perturbe complètement le cerveau des lecteurs et laisse croire que tout ce qui été dit dans cette discussion est faux. :happy3:
Or, Ncdk a compris ce que je voulais dire à travers les exemples que je lui ai transmis, et constatera facilement que c'est un lapsus dû à l'épuisement de suivre les idées de Ncdk, qui sort de la bouche de tout un chacun le plus souvent, et donc n'aura aucune incidence sur la suite de la discussion qui a permis à Ncdk de mieux comprendre de quoi il s'agit, Bref, inutile de pinailler sur des détails qui sort complètement du centre des idées pour essayer de chercher les défaut d'autrui.
Je tiens au passage à signaler à Ncdk qu'il y'a eu des disputes entre Ben et moi ces derniers temps à cause de quelques comptes à régler lui et moi, c'est pourquoi, il y'a eu cette intervention vicieuse dans l'objective d'écraser la crédibilité de mes dires.
Cordialement.

[barbu23]

Tout ce que j'ai raconté semble être faux, je présente mes excuses à Ncdt. Je l'ai pas fait exprès. :happy3:
Je n'ai pas réactualisé mes connaissances sur le sujet depuis plusieurs années.
Tu as par contre appris la manière de manier ces objets là, celà te servira dans la suite pour mieux cerner les idées qui composent ce cours.
Cordialement. :happy3:

[Ncdk]

Le faux introduit brutalement dans cette discussion perturbe complètement le cerveau des lecteurs et laisse croire que tout ce qui été dit dans cette discussion est faux. :happy3:
Or, Ncdk a compris ce que je voulais dire à travers les exemples que je lui ai transmis, et constatera facilement que c'est un lapsus dû à l'épuisement de suivre les idées de Ncdk, qui sort de la bouche de tout un chacun le plus souvent, et donc n'aura aucune incidence sur la suite de la discussion qui a permis à Ncdk de mieux comprendre de quoi il s'agit, Bref, inutile de pinailler sur des détails qui sort complètement du centre des idées pour essayer de chercher les défaut d'autrui.
Je tiens au passage à signaler à Ncdk qu'il y'a eu des disputes entre Ben et moi ces derniers temps à cause de quelques comptes à régler lui et moi, c'est pourquoi, il y'a eu cette intervention vicieuse dans l'objective d'écraser la crédibilité de mes dires.
Cordialement.

J'ai pu les lire sur un post, oui je lis les posts ailleurs Mais ce que je recherche avant tout c'est de pouvoir maitriser la définition, de bout à bout, je pense que c'est la clef de la réussite, j'ai un peu de mal, alors si je me donne à fond pour comprendre, ça paiera tôt ou tard

Pour montrer qu'elle est différentiable (sans forcément être C1), y'a pas trop le choix : la définition.
Vu qu'on a déjà calculé les dérivées partielle, on sait quelle est la seule application linéaire L susceptible d'être la différentielle et on essaye de majorer |f(xo+h,yo+k)-L(h,k)| pour montrer que c'est en o(||(h,k)||).

J'ai pu voir ça dans un exercice, mais en fait, qu'est-ce que ça représente en fait o(||(h,k)||) ? C'est une fonction qui dépend seulement de h et de k ? et si je trouve que alors le tour est joué (Différentiable au point (xo,yo) si j'ai bien compris) ?

L(h,k) c'est quoi d'ailleurs, une application linéaire ? la différentielle en (h,k) ?

Merci d'avance

[barbu23]

Je te présente toutes mes excuses Ncdt, je ne peux rien faire ( J'ai un peu honte ), mais, ça arrive dans la vie, que faire !?! Ce qui n'est pas bien, c'est que ça soit fait exprès. Mais, quant ce n'est pas fait exprès, ben voilà, je suis tombé dans l'erreur, c'est comme ça que je concevais les choses moi. Nul n'est à l'abri de l'erreur. Je ne sais pas comment m'excuser. Je suis désolé. :happy3:

[barbu23]

J'ai pu les lire sur un post, oui je lis les posts ailleurs Mais ce que je recherche avant tout c'est de pouvoir maitriser la définition, de bout à bout, je pense que c'est la clef de la réussite, j'ai un peu de mal, alors si je me donne à fond pour comprendre, ça paiera tôt ou tard

Oui, je comprends l'ampleur du dégat que je t'ai provoqué.
Je vais essayer de réparer ce que j'ai fait du mieux que je peux. Je m'excuse.

J'ai pu voir ça dans un exercice, mais en fait, qu'est-ce que ça représente en fait o(||(h,k)||) ? C'est une fonction qui dépend seulement de h et de k ? et si je trouve que alors le tour est joué (Différentiable au point (xo,yo) si j'ai bien compris) ?

L(h,k) c'est quoi d'ailleurs, une application linéaire ? la différentielle en (h,k) ?

est la différentielle en de qui est une application linéaire en , c'est à dire vérifie : .
Pour calculer , on commence par calculer :

On obtient la chose suivante :
.
avec : une application linéaire en , et avec : tend vers lorsque : tend vers .
De manière plus concrète, lorsqu'on calcule : on obtient toujours une écriture qui peut se décomposer sous forme d'une application linéaire et d'une application non linéaire qui tend vers lorsque tend vers .
Autrement dit, lorsque on calcule , on repère d'abord visuellement, la partie qui représente l'application linéaire, on montre qu'effectivement, elle est linéaire, ensuite, la partie restante, c'est à dire : est une expression qu'on peut toujours mettre sous la forme de : . et on montre qu'elle tend vers lorsque tend vers . On a ainsi, démontrer l'existence d'une application linéaire telle que : avec : qui est une quantité qui tend vers lorsque tend vers . C'est la définition, de la différentiabilité de l'application : . Et on pose : , c'est la différentielle de au point .

[barbu23]

J'ai pu les lire sur un post, oui je lis les posts ailleurs Mais ce que je recherche avant tout c'est de pouvoir maitriser la définition, de bout à bout, je pense que c'est la clef de la réussite, j'ai un peu de mal, alors si je me donne à fond pour comprendre, ça paiera tôt ou tard

Regarde la page : ( page où se situe l'énoncé de l'exercice ) et la page ( page où se situe son corrigé ) du pdf suivant : http://www.math.univ-toulouse.fr/~gavrilov/enseignement/CalculDiff/CalculDiffL3/Comte-cours.pdf , où on traite un exercice qui ressemble au tien, et qui met en application la même méthode que j'ai exposé sur ce fil. Tu comprendras vite où se situe mon erreur. :happy3:
Cordialement. :happy3:

Edit : Donc, tu peux appliquer toujours cette même méthode pour traiter ce genre de questions. Donc, ne te fait pas de souci, tu n'as pas perdu ton temps en vain, il suffit juste de comprendre comment arriver à "la bonne conclusion" vers la fin, dans la démarche que nous avons suivi sur ce fil, et que je n'ai pas su le faire correctement malheureusement. Bref, la démarche n'est pas fausse, tu peux toujours l'appliquer en corrigeant seulement al fin de la démarche, c'est à dire la conclusion.

[Ben314]

(1) J'ai pu voir ça dans un exercice, mais en fait, qu'est-ce que ça représente en fait o(||(h,k)||) ?
(2) C'est une fonction qui dépend seulement de h et de k ?
(3) et si je trouve que alors le tour est joué (Différentiable au point (xo,yo) si j'ai bien compris) ?
(4) L(h,k) c'est quoi d'ailleurs, une application linéaire ? la différentielle en (h,k) ?

Merci d'avance

(1) o(||h,k||) ça veut dire que fonction (dépendant de h et de k) qui, lorsqu'elle est divivisée par ||(h,k)|| tend vers 0 lorsque (h,k)->(0,0) : c'est la définition de "être différentiable en (xo,yo)", mais il se peut que tu l'ai vu sous la forme (clairement équivalente) :

f est différentiable en lorsqu'il existe une application linéaire telle que .
Dans ce cas, l'application linéaire L est appelée "différentielle de f en "

(2) oui... et non : dans le cas général, elle dépend aussi de mais dans ce types d'exo, on se place systématiquement sur un point particulier (souvent (0,0)) donc L ne dépend que de h et de k.

(3) oui : c'est la définition.

(4) S'il existe une telle application linéaire vérifiant ce qu'il y a de marqué dans la définition, alors effectivement ce sera elle la différentielle. Mais bien sûr, on ne peut pas dire que c'est elle la différentielle avant d'avoir montré que f est différentiable.
D'un autre coté, si f est différentiable, il y a un théorème qui nous dit que la différentielle de f en , c'est l'application linéaire
Donc pour montrer que f est différentiable en un donné, on commence systématiquement par calculer les dérivées partielle de f par rapport à x et à y en ce point là et à poser L(h,k)=voir_ci_dessus vu que, si la définition est vrai pour une certaine application linéaire L, alors c'est forcément celle là.

[Ben314]

Pour te donner un exemple, avec ta fonction f : R²->R définie par f(0,0)=0 et si (x,y) est différent de (0,0).
Après avoir montré la continuité (si elle ne l'est pas c'est pas la peine d'aller plus loin), le premier truc que je ferais, c'est de calculer les dérivées partielles en (0,0) (si elles existent) avec la définition (y'a pas le choix) :
(qui existe bien...)
(qui existe bien...)

Donc, si f est différentiable en (0,0), alors sa différentielle en (0,0) est

Pour montrer qu'elle est différentiable, il faudrait montrer que

ce qui, dans le contexte présent, signifie

Tu peut tout à fait le faire pour t'entrainer et constater au final... qu'elle n'est pas différentiable en (0,0) (i.e. que le truc en question ne tend pas vers 0 lorsque (h,k)->(0,0)).

A mon avis, c'est par ça qu'il faut commencer (i.e. utiliser la définition), puis, une fois deux ou trois exercices fait, commencer à voir toutes les petites "astuces" (comme les dérivées directionnelles=Gâteaux différentiabilité dont parle Barbu par exemple) qui permettent de montrer un peu plus rapidement qu'une fonction n'est pas différentiable en un point (mais qui ne permettent pas de montrer qu'elle est différentiable)

Ne pas oublier aussi que, si on doit montrer que f est C1, on passe directement par la continuité des dérivées partielle sans passer par la case "différentiabilité en (xo,yo)" vu qu'on a un théorème qui nous vend direct le résultat.

P.S. Tu peut aussi essayer la "méthode Barbu" consistant à dire qu'il faut "repérer la partie linéaire".
Prenons un exemple. Ca tombe bien, on en a un sous la main... :ptdr:
Donc, ici, la "méthode barbu", ça consiste à écrire ça :

puis à (je reprend ces termes) "repérer d'abord visuellement, la partie qui représente l'application linéaire"
Alors, si effectivement tu arrive à "repérer visuellement", tu applique la méthode Barbu.
Si non, ben... tu calcule les dérivées partielles et tu en déduit que le truc à "repérer visuellement", ici, c'est ce qui effectivement sautait aux yeux...:zen:

[Ben314]

Pour te donner un exemple, avec ta fonction f : R²->R définie par f(0,0)=0 et si (x,y) est différent de (0,0).
Après avoir montré la continuité (si elle ne l'est pas c'est pas la peine d'aller plus loin), le premier truc que je ferais, c'est de calculer les dérivées partielles en (0,0) (si elles existent) avec la définition (y'a pas le choix) :
(qui existe bien...)
(qui existe bien...)

Donc, si f est différentiable en (0,0), alors sa différentielle en (0,0) est

Pour montrer qu'elle est différentiable, il faudrait montrer que

ce qui, dans le contexte présent, signifie

Tu peut tout à fait le faire pour t'entrainer et constater au final... qu'elle n'est pas différentiable en (0,0) (i.e. que le truc en question ne tend pas vers 0 lorsque (h,k)->(0,0)).

A mon avis, c'est par ça qu'il faut commencer (i.e. utiliser la définition), puis, une fois deux ou trois exercices fait, commencer à voir toutes les petites "astuces" (comme les dérivées directionnelles=Gâteaux différentiabilité dont parle Barbu par exemple) qui permettent de montrer un peu plus rapidement qu'une fonction n'est pas différentiable en un point (mais qui ne permettent pas de montrer qu'elle est différentiable)

Ne pas oublier aussi que, si on doit montrer que f est C1, on passe directement par la continuité des dérivées partielle sans passer par la case "différentiabilité en (xo,yo)" vu qu'on a un théorème qui nous vend direct le résultat.

P.S. Tu peut aussi essayer la "méthode Barbu" consistant à dire qu'il faut "repérer la partie linéaire".
Prenons un exemple. Ca tombe bien, on en a un sous la main... :ptdr:
Donc, ici, la "méthode barbu", ça consiste à écrire ça :

puis à (je reprend ces termes) "repérer d'abord visuellement, la partie qui représente l'application linéaire"
Alors, si effectivement tu arrive à "repérer visuellement", tu applique la méthode Barbu.
Si non, ben... tu calcule les dérivées partielles et tu en déduit que le truc à "repérer visuellement", ici, c'est ce qui effectivement sautait aux yeux...:zen:

[barbu23]

Voici le contexte dans lequel se situe ce que je t'ai écrit Ncdk de manière générale :
Par exemple, si on prend l'application :
Alors, elle est différentiable en .
En effet :

avec : qui est une application linéaire en , et qu'on a pu repéré visuellement sans aucune peine. ( Facile à vérifier )
qui tend vers lorsque tend vers , car tend vers lorsque tend vers , et la quantité est bornée au voisinage de , donc fini.
C'est cette méthode que nous utilisons généralement surtout lorsqu'on parle par exemple, d'espace de matrices ( parce que pas toutes les matrices sont inversibles, et donc, il n'y'a pas moyen de calculer les dérivées partielles en un point ).
Mais, il se trouve que des fois, cette méthode ne fonctionne pas aussi, parce que l'expression de l'application est un peu compliqué. Dans ce cas là, on a recours au calcul des dérivées partielles comme c'est le cas de ta fonction que tu proposes.
Cordialement Ncdk. :happy3:

[barbu23]

salut

1/ en appliquant la définition

2/ ben parce que c'est la définition






ce qui donne la différentielle ....

Voiçi ce que j'avais envie de te dire :
Donc, .
avec : et . ( Facile à vérifier ). :happy3:

Edit : La méthode de zygomatique est plus simple, tu peux t'appuyer sur elle pour poursuivre ton assimilation du cours.

[barbu23]

salut
le terme complémentaire (x-y)xy/(x²+y²) n'est pas de la forme racine(x²+y²) e(x,y) où e(x,y) tend vers zéro lorsque (x,y) tend vers (0,0). Donc la fonction n'est pas différentiable en (0,0).

Oui, c'est vrai, mais ici, on peut avoir la chose suivante : lorsque tend vers . Parce que, en dimension finie les normes sont équivalentes, donc, on peut utiliser la norme qui nous convient.
Cordialement. :happy3:

Edit : Au début, je n'ai pas compris ce que tu as voulu dire zygomatique, je m'excuse de ne pas t'avoir répondu, j'avais la tête ailleurs. :happy3:

[Maxmau]

Oui, c'est vrai, mais ici, on peut avoir la chose suivante : lorsque tend vers . Parce que, en dimension finie les normes sont équivalentes, donc, on peut utiliser la norme qui nous convient.
Cordialement. :happy3:

Edit : Au début, je n'ai pas compris ce que tu as voulu dire zygomatique, je m'excuse de ne pas t'avoir répondu, j'avais la tête ailleurs. :happy3:

ah bon ?........?..........(ça concerne cette observation de barbu23 à mon précédent message)

Je ne saurai trop encourager Ncdk à lire les messages de ben314

[Ncdk]

Je crois que vos réponses sont complètes, place un peu à l'application, je pense que lire va pas m'aider, mais pratiquer oui.

Merci pour toutes vos réponses, si un problème se profil, je reviendrai en parler sur ce post :)

Merci barbu pour le lien, je vais regarder, ça me fera un exercice de plus, et merci ben pour la méthode bien détaillé, j'ai compris sans même l'avoir refait :)