Différentiabilité

[Ncdk]

Bonsoir,

Soit f : R²->R définie par f(0,0)=0 et si (x,y) est différent de (0,0).

Etudier la continuité et la différentiabilité de f.

Pour la continuité j'ai pas eu de problème :







Donc on a la limite de f(x,y) qui est de 0 quand (x,y)->(0,0) donc elle est continue en 0 et sur R² car c'est un quotient de deux fonctions continues sur R dont le dénominateur ne s'annule pas sur R.

Mais je sais pas comment prouver la différentiabilité... je n'ai pas la méthode en fait...

[barbu23]

Salut :

Sauf erreur ( Cela remonte à très longtemps que je ne fais pas ça )

Si , alors : est différentiable et la différentielle est donnée par :
.
Donc, il suffit de trouver les quantités : et pour définir .

Si , alors : .
Je ne sais pas :
- Si est différentiable en , alors, il suffit de calculer : et tomber sur une même valeur fixé quelque soit la direction .
- Dans le cas contraire, si quelques choses te fait croire que n'est pas différentiable en , alors il suffit de trouver deux directions et telles que :

Cordialement. :happy3:

[Ncdk]

Salut :

Sauf erreur ( Cela remonte à très longtemps que je ne fais pas ça )

Si , alors : est différentiable et la différentielle est donnée par :
.
Donc, il suffit de trouver les quantités : et pour définir .

Cela vient du fait que la différentiabilité possède un peu des propriétés similaires à celle de la continuité, on peut dire qu'elle est différentiable (x,y) différent de (0,0) car c'est un quotient de fonctions différentiables non ?

Si , alors : .
Je ne sais pas :
- Si est différentiable en , alors, il suffit de calculer : et tomber sur une même valeur fixé quelque soit la direction .
- Dans le cas contraire, si quelques choses te fait croire que n'est pas différentiable en , alors il suffit de trouver deux directions et telles que :

Cordialement. :happy3:

En revanche pour cette partie j'ai pas tellement compris le rôle des t, qu'est-ce que cette quantité représente ? C'est une fonction équivalente à f ?

[barbu23]

Cela vient du fait que la différentiabilité possède un peu des propriétés similaires à celle de la continuité, on peut dire qu'elle est différentiable (x,y) différent de (0,0) car c'est un quotient de fonctions différentiables non ?

Oui.

En revanche pour cette partie j'ai pas tellement compris le rôle des t, qu'est-ce que cette quantité représente ? C'est une fonction équivalente à f ?

Sur :
Soit une fonction dérivable en , par définition :

La quantité : ou tout simplement avec : est une droite avec : , et ( si nous étions par exemple dans : , on aurait par exemple : ou ... etc )
Bref, on se place sur la droite : :
Il existe deux directions par rapport au point que nous allons chercher sa dérivation par .
La première direction : La direction à droite, c'est à dire, quant et , Bref, la direction ( i.e par rapport à la droite passant par le point : et de direction le vecteur : , c'est à dire : avec : et ).
La deuxième direction : La direction à gauche, c'est à dire, quant et ).
Lorsque, n'est pas différentiable en , c'est parce que, dans ces deux directions à gauche et à droite, c'est à dire, dans les directions : et , on a :

et :

ne coincide, c'est à dire : .

En dimension supérieure, il se passe la même chose, par exemple dans :
Si .
Les deux directions : et , sont remplacer par des vecteurs directeurs des droites ou directions, c'est la même appellation, bref, ce qui change, est qu'au lieu que : ou , on a : , donc, plus général, avec : et circulant dans .

Donc, sur , il n'y'a que deux directions : et , et la différentiabilité ne dépend que de ces deux directions là. C'est à dire, si : alors, n'est pas différentiable en .

Dans , il y'a plusieurs directions : , et la différentiabilité dépend de ces deux directions là. C'est à dire, si : il existe deux directions : et distinctes, telles que : , alors, n'est pas différentiable en .

[Ncdk]

Merci, l'explication est clair. Mais si h et k se baladent dans R, si on trouve pas de contre exemple c'est de prouver que les limites soient différentes, s'il existe des cas particulier mais pas évident, donc des directions pas évidentes qui au final montre que les limites sont différentes, nous on va tester les choses évidentes au début, mais bon, si au bout de deux test on trouve que les limites sont égales, ça va pas prouver pour autant que la fonction est différentiable.

Je voulais demander cette chose du coup :

Pour qu'une application f soit de classe il faut que :

• f est différentiable sur O un ouvert de
• La différentielle de f est continue sur O

D'après un théoréme :

f est de classe si et seulement si les dérivées partielles de f sont continues sur O

Donc ma question : Pour prouver qu'une application est différentiable, on peut tout de suite voir si elle est donc de chercher les dérivées partielles et voir si elles sont continues sur O. Si elle est de classe alors elle est différentiable sur O

Mais ça peut être une méthode plutôt longue, il y a pas plus rapide, en utilisant la définition, celle que tu m'expliques ? Genre comment je peux débuter ma preuve de mon exercice (1er post) grâce à la définition ?

[barbu23]

Je m'excuse, j'ai corrigé une coquille, il faut lire :
et
et non :
et .
Si j'ai un peu de temps, je passerai te répondre dès que possible. :happy3:

[barbu23]

Pour ne pas se perdre, on considère : quelconque, et on calcule, la quantité :
, et à ce moment là, on remarque deux choses :
- est une constante, c'est à dire, ne dépend pas de et , par exemple : , à ce moment là, la quantité : est la même quelques soit se baladant dans , et donc, est différentiable en .
- n'est pas une constante, mais dépend pas de et de , par exemple : , à ce moment là, on peut vite choisir et distinctes, telles que : , et donc, on dit que n'est pas différentiable en .

[Ncdk]

Pour ne pas se perdre, on considère : quelconque, et on calcule, la quantité :
, et à ce moment là, on remarque deux choses :
- est une constante, c'est à dire, ne dépend pas de et , par exemple : , à ce moment là, la quantité : est la même quelques soit se baladant dans , et donc, est différentiable en .
- n'est pas une constante, mais dépend pas de et de , par exemple : , à ce moment là, on peut vite choisir et distinctes, telles que : , et donc, on dit que n'est pas différentiable en .

Donc si je comprends bien, si on trouve que notre limite ne dépend pas de h et de k, alors elle est différentiable en (0,0), pour les cas que tu m'as montré ?

[barbu23]

Donc si je comprends bien, si on trouve que notre limite ne dépend pas de h et de k, alors elle est différentiable en (0,0), pour les cas que tu m'as montré ?

Si on démontre que : la quantité : qui ne dépend pas de et , et non pas la limite : qui ne dépend pas de et ... alors elle est différentiable en .

[zygomatique]

salut

1/ en appliquant la définition

2/ ben parce que c'est la définition






ce qui donne la différentielle ....

[Ncdk]

Si on démontre que : la quantité : qui ne dépend pas de et , et non pas la limite : qui ne dépend pas de et ... alors elle est différentiable en .

Et c'est quoi la différence entre la limite et la quantité, car dans la définition si je la reprends c'est :
Soit avec O un ouvert de , on tel que :
, où

[barbu23]

Si on démontre que : la quantité : qui ne dépend pas de et , et non pas la limite : qui ne dépend pas de et ... alors elle est différentiable en .

Voiçi ce qui se passe généralement :
Par exemple :
Si :
, alors quelque soit , alors : .
Et donc, est différentiable en .
Si : , alors, la limite n'est pas unique, et dépend de et .
Bon ,c'est juste à titre d'exemple. :happy3:

[Ncdk]

Voiçi ce qui se passe généralement :
Par exemple :
Si :
, alors quelque soit , alors : .
Et donc, est différentiable en .
Si : , alors, la limite n'est pas unique, et dépend de et .
Bon ,c'est juste à titre d'exemple. :happy3:

D'accord c'est clair, mais dans notre exemple au dessus ça revient en fait à étudier exactement : la quantité :

Non ?

Je pense que si j'ai l'application de cette définition avec un f(x,y) relativement simple, je pense que je pourrais comprendre combien ça marche :p

[barbu23]

D'accord c'est clair, mais dans notre exemple au dessus ça revient en fait à étudier exactement : la quantité :

Non ?

Oui, fais alors le calcul. :happy3:
Tu as :
Fais le calcul de la quantité : ?

[Maxmau]

salut

1/ en appliquant la définition

2/ ben parce que c'est la définition






ce qui donne la différentielle ....

salut
le terme complémentaire (x-y)xy/(x²+y²) n'est pas de la forme racine(x²+y²) e(x,y) où e(x,y) tend vers zéro lorsque (x,y) tend vers (0,0). Donc la fonction n'est pas différentiable en (0,0).

[Ncdk]

Donc

Donc quand on passe à la limite, le résultat dépend de h et k, vu que t n’apparaît plus, alors on en déduit que la limite est différente de 0, donc f est pas différentiable en (0,0)

C'est le bon raisonnement ?

[barbu23]

Très bien. :lol3: :happy3:

[barbu23]

Donc

Donc quand on passe à la limite, le résultat dépend de h et k, vu que t n’apparaît plus, alors on en déduit que la limite est différente de 0, donc f est pas différentiable en (0,0)

C'est le bon raisonnement ?

C'est ça. Très bien. :lol3:
n'apparait plus, et donc, il existe plusieurs directions possibles pour lesquelles la limite diffère, donc, n'est pas différentiable en .
Tu peux dire aussi, que c'est parce que la limite n'est pas égale à . Mais, la vrai raison, est que la limite n'est pas unique et dépend des directions .

[Ncdk]

C'est ça. Très bien. :lol3:
n'apparait plus, et donc, il existe plusieurs directions possibles pour lesquelles la limite diffère, donc, n'est pas différentiable en .
Tu peux dire aussi, que c'est parce que la limite n'est pas égale à . Mais, la vrai raison, est que la limite n'est pas unique et dépend des directions .

Ok, il faut que dans notre cas ça soit égale à 0 ou cela doit être toujours ainsi ?
Oui j'ai vu c'est un peu comme quand on fait une limite des fonctions à deux variables, si on trouve un cas particulier ou les limites sont différentes, alors il existe pas une limite unique donc on en déduit qu'il n'y a pas de limite pour la fonction.

En fait cette méthode marche avec tous :p

Mais dis moi, on peut prouver aussi que la fonction est pas différentielle ou différentielle selon les fonctions qu'on a, grâce aux dérivées partielles ? Les dérivées partielles je sais qu'on s'en sert pour prouver que f est de classe mais bon...

[barbu23]

Ok, il faut que dans notre cas ça soit égale à 0 ou cela doit être toujours ainsi ?
Oui j'ai vu c'est un peu comme quand on fait une limite des fonctions à deux variables, si on trouve un cas particulier ou les limites sont différentes, alors il existe pas une limite unique donc on en déduit qu'il n'y a pas de limite pour la fonction.

ça dépend des cas :
Tu suis toujours la même procédure que je t'ai expliqué sur ce fil :
A la fin, tu arrives :
- Soit à une expression qui dépend de , et donc, c'est comme j'ai expliqué tout à l'heure.
- Soit à une expression qui ne dépend pas de , ( i.e : constante ), mais cette valeur est distincte de , et à ce moment là, n'est pas non plus différentiable en . :happy3:

Mais dis moi, on peut prouver aussi que la fonction est pas différentielle ou différentielle selon les fonctions qu'on a, grâce aux dérivées partielles ? Les dérivées partielles je sais qu'on s'en sert pour prouver que f est de classe mais bon...

La méthode que je t'ai expliqué sur ce fil est la méthode utilisé toujours, et c'est celle qui permet de comprendre théoriquement ce qu'est la différentiabilité en un point. Si tu comprends ça, je pense qu'il ne te reste pas beaucoup pour saisir tout le cours du calcul differentiel : Bon, il faut aussi aborder d'autre thématiques : Théorème d'inversion locale, théorème de fonctions implicites, théorème d'extrema, c'est tout je pense. Mais, puisque tu as réussi à comprendre ce que j'ai dit sur ce fil, il semble que tu ne vas pas trouver des difficultés pour comprendre le reste. :lol3:
Bonne chance. :happy3: