Différentiabilité

[zaidoun]

Bonjour,
La question est de montrer que l'application f: R^n ----> B(0,1) (la boule unité) définie par

f(x) = (1 / (1 + || x ||)) . x est un difféomorphisme.

Pour cela il faut montrer qu'elle est différentiable, bijective et son inverse est différentiable.

Je pense que cette application n'est pas différentiable en 0. C'est juste??

Je n'ai pas pu montrer qu'elle est bijective et déterminer son inverse.

Pouvez vous m'aider à résoudre cette question?

Merci d'avance.

[mathelot]

Je n'ai pas pu montrer qu'elle est bijective et déterminer son inverse.

i) déja pour la bijection, en calculant ||y|| fonction de ||x||,
on voit que la relation ||y||=h(||x||) est homographique.

résultat des courses, on peut calculer x fonction de y

[SLA]

Bonjour,
La question est de montrer que l'application f: R^n ----> B(0,1) (la boule unité) définie par

f(x) = (1 / (1 + || x ||)) . x est un difféomorphisme.

Pour cela il faut montrer qu'elle est différentiable, bijective et son inverse est différentiable.

Je pense que cette application n'est pas différentiable en 0. C'est juste??

Je n'ai pas pu montrer qu'elle est bijective et déterminer son inverse.

Pouvez vous m'aider à résoudre cette question?

Merci d'avance.

Salut,
effectivment il y a un problème en 0. Tu ne peux juste pas appliquer tes théorèmes habituels. Il faut revenir à la définition.

[Maxmau]

Bj

"Je pense que cette application n'est pas différentiable en 0. C'est juste??"

f(x) = x + o(||x||)

[mathelot]

c'est ok pour la bijection ou il faut détailler ?

[zaidoun]

C'est pas tout a fait, c'est facile de ttouver la relation entre ||y || et || x|| et après je ne sais pas comment déduire x en fonction de y. Et de plus cet x est unique?

[mathelot]

QED

[zaidoun]

oui c'est bon jusqu'à ici, mais est ce que cette dernière égalité donne que x= (1 / (1- ||y||)).y??

et cette valeur de x est elle unique?

[mathelot]

oui.............

[zaidoun]

pourquoi? mais on sait que l'application norme n'est pas injective?

[mathelot]

on voit mieux ce qu'est cette application, elle contracte l'espace sur la boule unité ouverte (et ceci, quelque soit la norme)

[zaidoun]

Franchement je n'ai pas bien compris!!!!!!!!!!!!!!!

[mathelot]

oui c'est bon jusqu'à ici, mais est ce que cette dernière égalité donne que x= (1 / (1- ||y||)).y?? (1)

(1) indique que x est unique (y donné a priori)

[mathelot]

[mathelot]

un calcul,compatible avec les axiomes d'e.v, montre

[zaidoun]

@mathelot: Merci bien pour vos explications.

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

Pour la différentiabilité, est ce que quelqu'un peut - il m'expliquer comment on trouve la différentielle de lorsqu'il n'est pas précisé le type de norme qu'utilise l'énoncé ?. Je sais trouver la différentielle de la norme seulement lorsque elle dérive d'un produit scalaire.

Merci d'avance. :happy3:

[mathelot]

si on visualise une boule unité pour une norme,
(bord d'un convexe)
au voisinage des points non anguleux, la norme est une fonction affine ,
aux points anguleux, la norme n'est pas différentiable

exemple : dans un voisinage de (3,2)

[barbu23]

si on visualise une boule unité pour une norme,
(bord d'un convexe)
au voisinage des points non anguleux, la norme est une fonction affine ,
aux points anguleux, la norme n'est pas différentiable

Et au point non anguleux, qu'est ce qui se passe ? Quelle est dans ce cas là, la différentielle de la norme ?
Merci d'avance. :happy3:

[mathelot]

au voisinage de
et

la différentielle est la 1ère coordonnée .