Différence de deux carrés : démonstration

[Crono]

Bonjour a tous, c'est la premiere fois que je poste ici.

En fait je cherche desespérement depuis quelques temps une démonstration que je n'arrive pas et que je ne trouve nulle part.

Il s'agit de démontrer que tous les entiers (naturels) sont différence de deux carrés d'entiers, exceptés ceux de la forme n=4p+2, p entier.

Pour la démo je suis au niveau moitié de Sup donc si vous avez un raisonnement simple ce serai vaiment très gentil (par exemple pas comme la démonstration que tout entier est somme de 4 carrés!)

Merci beaucoup d'avance et bonne journée :)

[Anonyme]

On part de l'identité remarquable a^2-b^2=(a-b)(a+b).
Une différence de deux carrés est donc un produit de deux nombres dont la différence est paire (2b est pair).
Si n est un entier impair, n=1*n et la différence n-1 est bien paire.
Si n est un entier pair, n=2*k et la différence k-2 n'est paire que si k lui-même est pair.

Conclusion : les entiers impairs et les multiples de 4 sont des différences de deux carrés.

Reste à montrer que les n=4k+2 ne sont pas des différences de deux carrés, mais cela se voit facilement sur les restes modulo 4.

[isortoq]

explicitement on a :

2p+1 = (p+1)^2 - p^2

4p = (p+1)^2 - (p-1)^2

[Crono]

Merci beaucoup, ceci dit la difficulté se trouve bien dans le fait de prouver que les 4p+2 ne sont PAS différence de deux carrés, les restes modulo 4 cela ne me dit rien étant donné que je n'ai pa fai spé maths, tu as une démo plus simple? ou a la limite tu m'explique vite fait... ^^

en tout cas merci beaucoup a vous deux

[isortoq]

Pour 4p+2 tu peux faire comme ça :

Soient a et b deux entiers ; a^2-b^2=(a-b)(a+b)

- si a et b sont de parités différentes, alors a+b et a-b sont des entiers impairs, et leur produit est impair, donc ne peut pas être égal à 4p+2

- si a et b ont la même parité alors a+b et a-b sont des entiers pairs, et leur produit est un multiple de 4, donc ne peut pas être égal à 4p+2.

Good night !

[redwolf]

Bonsoir.

Voici une autre manière de voir pour varier les plaisirs (et les identités remarquables) :

. On passe donc d'un carré au suivant en ajoutant un nombre impair. En itérant, on voit qu'une différence de deux carrés est une somme de nombres impairs consécutifs. Mais deux nombres impairs consécutifs ont une somme multiple de 4 (car 2k+1+2k+3=4k+4).
Une somme de nombres impairs consécutifs est donc soit multiple de 4 (si le nombre de termes est pair) soit un nombre impair (si le nombre de termes est impair).

[Crono]

merci beaucoup a tous les deux :)