Diffeormorphisme

[Aispor]

Bonjours, voici mon problème :



En TD on a répondu à la question 1 uniquement, en disant que "puisque F c'est de classe C1, F est un diffeo local en tout point si et seulement si (théorème d'inversion local) le jacobien de f est non nul en tout point de RxR"
Le ssi (la reciproque) me paraît fausse (car on a vu que l'implication direct dans le cours), mais le prof dit qu'il est vrai, et je ne trouve pas de contre exemple xD
Merci d'avance

[Mimosa]

Bonjour

C'est bien vrai, puisqu'il s'agit de difféomorphisme local. La jacobienne de est inversible au point considéré, donc la jacobienne de au point est inversible. Comme l'ensemble des matrices inversibles est ouvert, il existe un voisinage de sur lequel est inversible, ce qui prouve que induit un difféomorphisme d'un voisinage de sur un voisinage de .

[Ben314]

Salut,
La réciproque du théorème d'inversion locale, elle est complètement évidente (et c'est quand même étonnant que le prof ne l'ait pas dit) :
Si (où et sont des ouverts des e.v.n. et ) est de classe , bijective et de réciproque elle aussi alors et et vu que et sont différentiables, on en déduit (formule de différentiation d'une composée) que et que ce qui signifie que, si et sont tels que alors et c'est à dire que l'application linéaire est bijective de réciproque .
Et si on est en dimension finie, ça signifie bien sûr que la matrice jacobienne de en est inversible et que son déterminant est non nul.

P.S. Et je vois pas bien le rapport entre cette réciproque du théorème d'inversion locale et ce que raconte Mimosa concernant le fait que est un ouvert de (qui lui est plutôt utile pour le sens direct).

[Aispor]

Merci d'avoir répondu ! En effet la reciproque n'est pas évoqué dans mon cours et je ne l'ai pas trouvé non plus dans les bouquins de L3 c'est dommage