Difféomorphisme

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

je ne vois pas comment montrer que l'application de sur défini par est un -difféomorphisme.

Merci pour vos indications.

[busard_des_roseaux]

Bjr,

l'espace d'arrivée est simplement connexe.

L'application est bijective, elle s'inverse par les formules de changement de coordonnées polaires, cartésiennes:



D'après la remarque du début, dans l'espace d'arrivée, simplement connexe,on a une détermination de l'argument . En effet, on a coupé
selon l'axe des réels positifs.

la détermination de l'argument est donnée par:




Il y a un peu de travail pour montrer que la détermination est une fonction de classe au voisinage d'un point de l'axe y'oy privé de l'origine.


Cordialement,

[legeniedesalpages]

Bonjour busard, ça veut dire quoi qu'un espace est simplement connexe?

[legeniedesalpages]

ok, j'ai regardé sur wiki la définition d'ensembles simplement connexe.

Mais par exemple ici comment je peux déterminer les dérivées partielles?
Dans mon bouquin, le cours les définit que pour des fonctions à valeurs réelles ou complexes, et ici on est dans le cas où est à valeurs dans .

[legeniedesalpages]

je dérive chacune des composantes?

par exemple

,

et


.

c'est bien ça?

[legeniedesalpages]

Et si j'ai bien compris pour dire que est continûment dérivable en tout point de (ouvert dans ), il faut que je montre que
et existent et sont continues dans

[busard_des_roseaux]

Bonjour busard, ça veut dire quoi qu'un espace est simplement connexe?

Tout lacet est homotope (peut être déformé continuement) à un point.

[busard_des_roseaux]

je dérive chacune des composantes?

par exemple

,

et


.

c'est bien ça?

vi.



pour , il n'y a aucun problème ,
cette fonction en dehors de l'origine est différentiable, on calcule
les coordonnées de l'application linéaire , relativement à la base dx,dy et les coordonnées de sont continues.

[busard_des_roseaux]

Et si j'ai bien compris pour dire que est continûment dérivable en tout point de (ouvert dans ), il faut que je montre que
et existent et sont continues dans

vi. Pour , c'est facile.
Ensuite, il suffit de:

1) trouver l'application réciproque de
2) vérifier par la calcul que est bien réciproque de
3) avoir une expression analytique agréable de
pour démontrer qu'elle aussi, est de classe

La moitié du travail est fait:
r se calcule en fonction de et la formule donne une fonction de classe .
Quant à l'argument , il existe aussi une formule, avec arctangente, qui donne l'argument, fonction de (x,y) . On voit tout de suite que c'est . J'ai essayé de la retrouver, mais je ne l'ai pas pour l'instant.


Et comme l'espace d'arrivée, privé de
est simplement connexe, une telle formule existe, parce qu'elle correspond à une détermination du log complexe.


cordialement,

[legeniedesalpages]

Oki merci pour ces explications Busard,

je suis en train de relire le cours sur les dérivées de fonctions vectiorielles, dérivées partielles, et différentielle, parce que c'est vrai qu'en fait j'étais un peu en train de demander un cours dessus :lol2: :marteau:

[busard_des_roseaux]

je relance le fil, pour les autres forumers:


l'ouvert
est étoilé à partir du point A de coordonnées (-1,0).
donc simplement connexe.

Comment trouver une détermination analytique, ie, une formule donnant
l'argument en fonction de x et y,
pour inverser la fonction de GénieDesAlpages.

j'ai essayé deux choses pour trouver une expression de :
calculer

sur un segment joignant A à M(u,v).
mais après de nombreux calculs, je trouve:

qui n'est pas vraiment satisfaisant au point (u,v)=(1,1).

j'avais pensé aussi à calculer:

calculer t comme racine d'un trinome, mais quelle racine prendre ?
et ensuite:



j'attend des suggestions.....

[legeniedesalpages]

Comment trouver une détermination analytique, ie, une formule donnant
l'argument en fonction de x et y,
pour inverser la fonction de GénieDesAlpages.

tu as regardé ce qu'il proposait sur wiki: [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonnées_polaires#Conversion_entre_syst.C3.A8me_polaire_et_cart.C3.A9sien]http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonnées_polaires#Conversion_entre_syst.C3.A8me_polaire_et_cart.C3.A9sien[/url].

Je comprends pourquoi mon prof d'intégration nous l'as pas justifié, tu fais appel à un tas de notions et de résultats que je connais pas.

[Joker62]

Hello
J'ai pas tout suivi, mais bon, j'expose comment j'ai fait pour le faire lui :

Soit f : R² -> R²
(r,Teta) -> (r.Cos(theta), r.sin(theta))

f est C^oo sur R².

Le jacobien de f :



Le jacobien de f s'annule sur {0}xR, donc on va réduire l'étude de f sur R*xR
Sur R*xR f est un donc un C^oo difféo-local

Maintetant, si on trouve un ensemble U C R*xR tel que la restriction de f à U soit injective, alors on aura que f est un C^oo difféomorphisme

soit r,r' != 0



On prend alors

On calcul f(U) et on trouve le résultat demandé sans passé par je sais pas trop quoi :^)

Edit : ah j'ai compris ce que vous vouliez faire, vous vouliez expliciter sa réciproque pour pouvoir montrer qu'elle est C^1 et donc que c'est un difféo.
Ok je vois.

[busard_des_roseaux]

On calcul f(U) et on trouve le résultat demandé sans passé par je sais pas trop quoi :^)

OK, d'accord, c'est plus simple. :hum:

Edit : ah j'ai compris ce que vous vouliez faire, vous vouliez expliciter sa réciproque pour pouvoir montrer qu'elle est C^1 et donc que c'est un difféo.
Ok je vois.

oui, c'est ce que je voulais faire, car j'ai déja vu une telle formule.

[Joker62]

Rain' va nous l'amener sur un plateau apparemment :p
On va attendre

Celle de Wiki est pas mal non plus : [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_polaires#Conversion_entre_syst.C3.A8me_polaire_et_cart.C3.A9sien"]http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_polaires#Conversion_entre_syst.C3.A8me_polaire_et_cart.C3.A9sien[/url]

Par contre, le 2 devant le Arccos il sert à quoi ???

Parce qu'en fait on a :




Donc la formule donnée coule de source on va dire :^)

[busard_des_roseaux]

theta = 2 arccos [ x / (2[x²+y²]^(1/2))] te convient-il ?

non, pas vraiment, car

[busard_des_roseaux]

On a :




Donc la formule donnée coule de source on va dire :^)

ben non, elle est difficile à trouver avec arccos,arcsin et arctan.
ce qui est demandé, c'est une seule formule, analytique, qui marche
sur

[busard_des_roseaux]

Effectivement , désolé j'ai confondu cos(x)/2 et cos(x/2)

En réalité c'est plutôt

PS : ou pas, m'enfin ça va venir

marche pas pour y<0.

les conditions nécéssaires sont:

[legeniedesalpages]

ok, je commence à mieux comprendre ces histoires de dérivées, et merci à joker pour ta solution, mais du moins si j'ai bien compris tu utilises des outils d'analyse complexe busard auxquels je ne suis pas familier mais ça a l'air bien intéressant.

Je me demandais pour quoi ça ne marche pas:

on a bien ,

et alors pourquoi , ne convient pas? :hein: :briques:

[busard_des_roseaux]

,

et alors pourquoi , ne convient pas? :hein: :briques:

L'ensemble d'arrivée de la fonction arccos est
La fonction est paire en la variable y et donnera la même argument au dessus
et en dessous de l'axe x'ox.