Diagonalisation

[juju78]

Bonjour on doit determiner les valeurs propres et les vecteurs proprese etd onner une base des sous espaces propres

pour

Je trouve Sp(B)={0,1}
On a deux valeurs propres distinctes et dim B= 2 donc la matrice est diagonalisable et il existe P inversible et D matrice de passage tel que B= PDP-1

On calcule E0=Ker(B)
on resoud le systeme :
y=0
-x=0 donc x=0

mais ce n'est pas possible ? on ne peut pas avoir E0=vect{0,0} ?
que faire?

[fatal_error]

salut,

les valeurs propres sont telles que
.
Si tu prends lambda = 0, ca veut dire que
det(B) = 0, ce qui n'est pas le cas ici. Tu t'es donc planté dans le calcul des valeurs propres.

[juju78]

a oui effectivement on trouve

c'est donc impossible ici ? le polynome ne sannule jamais

[Stanley]

Salut,

- on inverse les lignes 1 et 2 dans la matrice B
- on a une matrice diagonale
- il y a deux termes diagonaux différents (-1 et 1) donc deux valeurs propres -1 et 1.
- La matrice étant d'ordre 2, on en déduit que B est diagonalisable

[juju78]

je ne vois pas mon erreur, meme si on inverse pas les lignes ça devrait marcher

j'ai fais:

[fatal_error]

salut,

non -1 et 1 ne sont pas valeurs propres :
Mettons pour 1 :
tu calcules
Concernant , ben il existe aucune valeur propre dans R ( ). Donc aucun vecteur propre, donc aucun sous espace propre,donc B n'est pas diagonalisable.

http://baudrandmaths.free.fr/chapitreVcours/ChapitreVcours.html

Enfin, je pense.

[Stanley]

Non en fait il y a deux méthodes :

Première méthode (à utiliser de préférence ici) :
Tu fais des transformations élémentaires sur ta matrice (pivot de gauss) jusqu'à obtenir une matrice semblable triangulaire (ou diagonale c'est mieux).
Tu peux ensuite déduire que tous les termes diagonaux (même si elle est triangulaire) sont des valeurs propres.
Ici tu inverse les deux lignes et tu a B semblable à
B' = ( -1 0 )
( 0 1 )
Par lecture tu as -1 et 1 valeurs propres


Deuxième méthode (plus générale, mais bon ça revient un peu au même) :

Dire que g est valeur propre de B (j'ai pas le symbole lamdba donc je prend g désolé, g est un réel quelconque) ça équivaut à dire que
il existe un vecteur X non nul tel que (B-g.I).X = 0 soit encore, comme X non nul, que (B-gI) est non inversible.
Tu forme donc ta matrice B-gI = ( -g 1 )
( -1 g )
Pour montrer qu'elle est non inversible, tu la rend semblable à une matrice triangulaire par un pivot de gauss, et tu cherche toutes les valeurs de g telles qu'il y ait au moins un 0 sur la diagonale (c'est à dire telles que B-gI non inversible) et tu as ton spectre ;)

Donc ici il était plus simple de passer par la première méthode.


Edit : mince il doit y avoir un problème dans ce que je viens de dire puisqu'en effet j'arrive pas à calculer les sous espaces propres. Pourtant je comprend pas j'applique à la lettre mon cours :S

[fatal_error]

je suis têtu, mais 1 et -1 ne sont pas valeurs propres !!!! :marteau:

[Joker62]

Sauf que la première méthode est fausse...

Deux matrices semblables ont le même déterminant, la première a un déterminant = à 1, la seconde a un déterminant = à -1

[juju78]

je suis daccord avec fatal error

[Stanley]

Yep au temps pour moi :triste:
En revanche la deuxième est correcte je crois, et on trouve B non diagonalisable.