Diagonalisation

par **jeje56** » 09 Fév 2009, 13:50

Bonjour,

J'ai une question qui me pose problème :

Dans la formule D=P^(-1)AP, est-ce que les vecteurs propres qui forment les colonnes de P sont nécessairement de norme 1 ?

Merci !

par **Nightmare** » 09 Fév 2009, 14:05

Bonjour,

Non il n'y a pas de raison ...

par **jeje56** » 09 Fév 2009, 14:11

Pourtant si u est un vecteur propre :

||f(u)||=a||u|| (a valeur propre associée)

et ||f(u)||=a (dans la matrice diagonale)

d'où ||u||=1

Je sais que c'est faux mais je n'arrive pas à m'en défaire...

par **Lemniscate** » 09 Fév 2009, 14:11

Bonjour,

Effectivement il n'y a pas de raisons qu'ils soient de norme 1, mais je crois que tu penses au théorème de diagonalisation d'une matrice symétrique réelle... A ce moment le théorème te dit que tu peux trouver P orthogonale (donc les vecteurs des bases sont normés) si ta matrice A "représente" un endomorphisme en b.o.n. (base orthonormée)

par **Nightmare** » 09 Fév 2009, 14:11

Pourquoi ||u||=1 ?

par **Lemniscate** » 09 Fév 2009, 14:14

"||f(u)||=a" Oui cela est faux :) car tout ce que tu sais (que tu regardes la matrice ou f) c'est f(u)=a.u ! donc on ne suppose pas forcément que ||u||=1 !

par **jeje56** » 09 Fév 2009, 14:18

Merci à vous deux :

En fait, je me dis : soit f(u) le premier vecteur colonne de D :

||f(u)||=Racine(a²+0+...+0)=a... non ?

par **jeje56** » 09 Fév 2009, 15:24

Personne pour me dire que c'est faux ? lol

par **Joker62** » 09 Fév 2009, 15:36

C'est faux...

f(u) != (a,0,0,0,0,0,0,...)

par **jeje56** » 09 Fév 2009, 15:53

Salut Joker,

Et sa norme ???

par **Joker62** » 09 Fév 2009, 16:54

La norme de f(u) ?
Ben |a|.||u|| :^)

par **jeje56** » 09 Fév 2009, 17:03

Lol, je suis d'accord... Mais on ne peut pas dire que c'est aussi la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées a,0,0... ?

par **Joker62** » 09 Fév 2009, 17:08

Dans le cas ou u = (1,0,0,0,...) oui biensûr

par **YLS** » 10 Fév 2009, 10:40

jeje56 a écrit:Lol, je suis d'accord... Mais on ne peut pas dire que c'est aussi la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées a,0,0... ?

Le problème est que quand tu calcules la norme de f(u) en regardant la matrice D, tu oublies que les coefficients de la colonne correspondante de D sont les coordonnées de f(u) dans la base de vecteurs propres, alors que dans la matrice A il s'agit des coordonnées de f(u) dans la base d'origine. Si tu calcules la norme d'un même vecteur selon ses coordonnées dans 2 bases différentes, c'est normal de trouver 2 valeurs différentes.

par **jeje56** » 10 Fév 2009, 11:00

Oui je vois : N(f(u))=aN(u) n'a de sens que quand f(u) et u sont exprimés dans la même base... c'est ça ?

par **kazeriahm** » 10 Fév 2009, 12:06

si a est valeur propre de f, tu peux toujours choisir un vecteur propre u de norme 1 tel que f(u)=a*u et alors on a ||f(u)||=|a|

par **YLS** » 10 Fév 2009, 16:08

jeje56 a écrit:Oui je vois : N(f(u))=aN(u) n'a de sens que quand f(u) et u sont exprimés dans la même base... c'est ça ?

Non, ceci est vrai pour n'importe quelle vecteur propre u de f associé la valeur propre a (enfin, en réalité on a N(f(u))=|a|*N(u), je ne sais pas si a est positif), sans même faire référence à la moindre base. Ce que tu te demandais, c'est si on avait N(f(u))=|a|. C'est vrai si et seulement si N(u)=1, soit ssi u est un vecteur unitaire. Encore une fois, on ne s'est pas référé à une quelconque base; les bases entrent en jeu dès qu'on doit lire des coordonnées de vecteurs dans les matrices.

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