Diagonalisation

[Sylar]

Bonjour,j'aimerai savoir comment démontrer un résultat que j'utilise parfois:
Montrer qu'en dimension finie,2 endomorphismes u et v diagonalisables qui commutent ,admettent une base commune de vecteurs propres.........
Merci........

[kazeriahm]

sylar normalement tu l'as vu en cours...

il y a plusieurs methodes, tu peux le faire par une récurrence forte sur la dimension de ton espace :

montrons que si E est de dimension n, u et v deux endomorphismes qui commutent admettent une base commune de vecteurs propres.

Pour n=1 c'est vrai.

Supposons que pour n >=1, le resultat soit vrai pour tout k=
Soit u et v deux endomorphismes diagonalisables d'un ev de dim n+1, qui comutent.

Si u est une homothètie, c'est évident (car u(x)=lambda*x pour tout x de E, donc il suffit de prendre une base de vp de v).

Sinon on peut trouver une valeur propre lambda de u telle que la dimension de l'espace propre associée soit ==1. L' espace propre etant stables par u et v, on applique l'HR a celui ci (l'espace propre) et a la somme directe des autres espaces propres de u (car la somme est directe et ces espaces sont egalement stables par v...)

Je crois pas avoir ete tres clair

[Alpha]

C'est asser clair je pense, pour être tout à fait clair il suffit de préciser que comme l'espace propre et la somme des autres espaces propres de u sont stables par v, on considère d'une part u et l'endomorphisme induit par v sur le premier ss-espace propre et on lui applique l'HR, et de même avec u et l'endomorphisme induit par v sur sur la sommes des autres espaces (préciser qu'on considère l'endomorphisme induit clarifie sûrement les choses).

[Sylar]

Désolé on l'a pas vu en cours sinon merci

[kazeriahm]

:we: oui alpha merci d'avoir clarifie ma pensee

[kazeriahm]

beuh si tu l'as pas vu en cours comment peux tu t'en servir? votre prof vous a balance ce resultat en vous disant qu'il fallait l'admettre?

[Sylar]

je l'ai vu dans un bouquin...

[Sylar]

Si u est une homothètie, c'est évident (car u(x)=lambda*x pour tout x de E, donc il suffit de prendre une base de vp de v).

Pourquoi prendre la cas particulier d'une homothétie?

[kazeriahm]

parce que il faut distinguer le cas ou l'on peut trouver une valeur propre de multiplicité la dimension de l'espace (auquel cas u est une homothétie et on ne peut appliquer l'HR) des autres cas, auquel cas l'HR fonctinne

le reste ca va?

[Sylar]

mais on connait pas la multiplicité de la valeur propre??

[kazeriahm]

On considere une valeur propre lambda de u. Il y a deux cas dont l'un des deux est vrai forcement : soit la multiplicite de lambda est n+1, soit sa multiplicite est < n+1

[Sylar]

Pour une homothétie la multiplcité de la valeur propre est ici n+1?

[kazeriahm]

une homothetie c'est uoi ? c'est un endomorphisme de la forme lambda*Id, donc la seule valeur propre d'une homothetie est son rapport lambda, de multiplicité la dimension de E...

[Sylar]

Oui exact merci.

[Sylar]

Une derniere question: Pour n=1 c'est vrai ??

[kazeriahm]

un endomorphisme en dimension un est une homothètie

[Sylar]

Oui mais si u et v sont des homothéties ,ont-ils pour autant une co base dans laquelle ils sont diagonalisables?
J'ai réussi seulement a montrer qu'ils on les memes vp s'ils commutent.Mais pour la cobase ,je vois pas trop....

[Alpha]

Mais attends, Sylar,

une homothétie, dans n'importe qu'elle base, ça a pour matrice un matrice de la forme , et tu peux faire tous les changements de base que tu veux, ça restera de cette forme, donc une matrice diagonale... Donc qelle que soit la base elle seront diagonales... Donc diagonalisables...

[thomasg]

Une derniere question: Pour n=1 c'est vrai ??

Je vais peut-être dire une énormité, mais pour n=1 la matrice de tout endomophisme est diagonale ??? il y a un seul élément.

[Alpha]

Ben non, ce n'est pas une énormité, c'est la vérité! :lol4: En dimension 1, une matrice se réduit à un scalaire, alors elle a intérêt à être diagonale lool, mais bon, parler de diagonale dans ce cas extrême n'a pas grand sens ni grand intérêt :lol4: