Diagonalisation

par **Bodyboard.Pro-Rider>Vert** » 13 Juin 2007, 20:21

Bonsoir,je bloque un peu sur cet exercice:
Soient f et g deux endomorphismes d'un C ev de dimension finie tels que :

- g soit diagonalisable et inversible

- il existe un entier n tel que f^n = g

Montrer que f est diagonalisable.
Merci....

par **HAL 9000** » 13 Juin 2007, 20:29

Comme g est diagonalisable, alors il est décomposable en un endomorphisme diagonalisé dans une base de ton C ev. Après en appliquant le raisonnement de la racine n-ieme sur ton endomorphisme diagonalisé, tu obtient :

Matrice(f) = base x Mat(racine n-ième des v.p de g diagonalisé) x base

par **Bodyboard.Pro-Rider>Vert** » 13 Juin 2007, 20:36

Ah oui,quel idiot suis-je!!!!Merci...

par **fahr451** » 13 Juin 2007, 21:03

bonsoir cela ne va pas

ce qui a été dit c'est qu'on peut trouver un f diagonalisable vérifiant

f^n = g ce n 'est pas la question

g étant diagonalisable

il existe P scindé à racines simples a1 , ..., ak annulateur de g

les ai sont les vps de g , g étant inversible aucune n'est nulle

on a P = (X-a1) ...(X-ak)

et Q = P°X^n annule f

or Q = (X^n -a1) ...(X^n -ak) est scindé à racines simples

car les ai étant distinctes non nulles leurs racines n ièmes complexes le sont aussi

donc f est diagonalisable.

par **Bodyboard.Pro-Rider>Vert** » 13 Juin 2007, 21:13

Merci pour la réponse mais c'est quoi exactement:Q = P°X^n annule f ??
Le rond désigne quoi?

par **fahr451** » 13 Juin 2007, 21:21

la composée

Q est le polynôme que j'ai écrit en dessous

dans P, j'ai remplacé X par X^n

par **Bodyboard.Pro-Rider>Vert** » 13 Juin 2007, 21:29

Ah d'accord merci.

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