Diagonalisation

par **jeje56** » 23 Fév 2007, 16:28

Soit E l'ensemble des endomorphismes de R^n et Phi l'application de E ds E qui à f associe pof + fop (p désigne un projecteur quelconque de R^n)

Après avoir calculé Phi² et Phi^3, j'en déduis la relation : Phi^3 - 3Phi² + 2Phi = 0

X^3 - 3X² + 2X = X(X-1)(X-2) est donc un polynôme annulateur de Phi ;

Comment savoir si Phi est diagonalisable ou non?

Merci ;-)

par **fahr451** » 23 Fév 2007, 16:32

tout est dans le cours suffit de se donner la peine de le consulter

par **jeje56** » 23 Fév 2007, 16:37

X(X-1)(X-2) est le polynôme minimal de Phi :

f diagonalisable ssi les espaces propres respectivement associés à 0, 1 et 2 sont de dimension 1 : comment le vérifier ?...

par **jeje56** » 23 Fév 2007, 17:09

Personne pr me donner une indication ?...

par **Joker62** » 23 Fév 2007, 17:13

L'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si le polynôme possède toutes ses racines et qu'aucune de ses racines ne soit multiple.

par **jeje56** » 23 Fév 2007, 17:24

C'est le cas ici manifestement... ?

par **Joker62** » 23 Fév 2007, 17:25

Bé je sais pas tu vois des racines multiples ?

par **jeje56** » 23 Fév 2007, 17:29

Non mais comment etre sûr que ce polynôme scindé possède toutes les racines de l'endo ?

par **kazeriahm** » 24 Fév 2007, 11:14

un théorème qui doit surement te trouver dans ton cours te dit que un endomorphisme u est diagonalisable ssi il existe un polynome P scindé et à racines simples sur K tel que P annule u (P(u)=l'endomorphisme nul).

C'est le cas ici.

par **jeje56** » 25 Fév 2007, 21:42

Ds le cours :

u est diagonalisable ssi le polynôme minimal de u est scindé et n'a que des racines simples

On suppose donc ici que le polynôme trouvé est le polynôme minimal?...

par **MooMooBloo** » 26 Fév 2007, 14:53

Connais-tu la définition du polynome minimal? Dans ce cas, tu sais qu'il divise tout polynome annulateur. dans ton exo, il divise un polynome scindé à racines simples, il est scindé à racines simples.
PS: le théorème cité par kazeriahm est essentiel et bien utile (comme ici), fouille mieux ton cours!

par **fahr451** » 26 Fév 2007, 14:55

MooMooBloo a écrit: fouille mieux ton cours!

c'est keskekejedisais mais faut déjà ouvrir son cours ...

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