Diagonalisation

[mehdi-128]

bonsoir j'ai (P/Q)=integrale de -1 a 1 de P(t)*Q(t)dt
et : u(P) = 2XP' +(X^2-1)*P'' avec P appartenant a Rn[X]

J 'ai montré que l'endomorphisme u était diagonalisable car il a n+1 valeurs propres distinctes :0 ,2,......n^2+n
Mais je n'arrive pas à montrer que si P et Q sont 2 vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes alors (P/Q)=0....

[fahr451]

cela revient à montrer que u est diagonalisable (fait) en base orthonormée

c'est à dire que u est auto adjoint


prouve donc que u est auto adjoint en montrant que pour P et Q quelconques

(u(P),Q) = (P,u(Q) ) ce qui est simple par IPP
[rem il suffit de transformer par IPP (u(p),Q) en une expression symétrique en P et Q]

une fois ceci prouvé pour P et Q vecteurs propres associés à a et b respectivement on aura (u(P),Q) = a(P,Q) = (P,u(Q)) = b(P,Q) et le résultat si a et b différents.

[mehdi-128]

merci j'ai bien compris