Diagonalisabilité

[LB2]

Bonjour,

voici un exercice que je n'arrive pas à terminer.
Soit telle que . Montrer que est diagonalisable sur

On a clairement diagonalisable sur (toute matrice symétrique réelle est diagonalisable sur ). Mon idée pour montrer que est diagonalisable est de considérer des racines cubiques, éventuellement à coefficients complexes, mais ça n'aboutit pas...

[Mimosa]

Bonjour

J'ai peut-être mal compris la question. Mais une matrice diagonalisable sur est déjà diagonalisable sur .


C'est la réciproque qui pose problème.

[LB2]

Je n'ai pas montré que A était diagonalisable, seulement que A^3 était diagonalisable (sur R)

[Mimosa]

En effet, je n'avais pas vu. est diagonalisable sur parce que symétrique. Elle admet une diagonalisation par une matrice orthogonale. Ne peut-on rien en tirer?

[LB2]

Je pense que si mais je n'arrive pas à l'écrire correctement.

[aviateur]

Bonjour
Soit et son orthogonal.
Si on transpose l'hypothèse on a aussi donc
Mais ker A^t et Ker A ayant la même dimension, on en déduit que
Mais alors cela implique aussi

Les sous espaces et sont donc stables par et
La restriction de A à est donc nulle (i.e ) et est donc diagonalisable.

On est donc ramené à étudier la diagonalisation de la restriction de A à ce qui revient à supposer maintenant que 0 n'est pas valeur propre de A.

Soit donc une valeur propre de A et X un vecteur propre associé.
On a donc est une v.p de et cela implique que puisque est symétrique réelle.

Mais implique
Donc est aussi une v.p de Il est bien connu que les v.p de sont aussi les valeurs propres de .

Ainsi, on obtient que une v.p de A pour tout p. Ce qui n'est possible que si |z|=1.
De plus, comme est réel, Les seules v.p possibles de A sont les racines cubiques de 1 où de -1. Mais les seules v.p possible de sont En particulier on a

Comme le polynôme annulateur de A, est scindé sur alors A est diagonalisable sur

[tournesol]

Il me semble que pour n entier naturel non nul on a facilement:
diagonalisable sur ssi A diagonalisable sur .
Critère utilisé : B diagonalisable sur K ssi B annule un polynôme scindé à racines simples à coefficients dans K .
étant diagonalisable sur , elle est diagonalisable sur .
Elle annule donc le polynôme scindé à racines simples
Donc A annule le polynôme qui est clairement scindé sur à racines simples .
La réciproque est immédiate matriciellement .

[LB2]

Merci aviateur et tournesol!

je tournais autour de l'idée de tournesol sans parvenir à énoncer ce résultat.
mais attention, il faut supposer A inversible, sinon cela ne fonctionne pas (penser à une matrice nilpotente non diagonalisable). En effet, si 0 est valeur propre, X^n n'est pas scindé à racines simples et la preuve ne fonctionne pas.

la méthode d'aviateur est plus explicite mais les 2 fonctionnent!

Pour info, l'exercice est extrait d'un oral Mines-Ponts session 2017, voie MP

Le résultat évoqué par tournesol est consultable dans le tome algèbre 2 des X-ENS, exo 2.17