Diagonalisabilité ?

[absolut-diabolik]

bonjour,

Je vous explique j'ai plusieurs matrices 2,2 et je dois démontrer que les matrices sont diagonalisables sur R

On m'a dit qu'il fallait calculer le polynome caractéristique et puis voir si il avait des racines simples. (déjà je comprends pas pquoi par rapport à la définition)

Mais si y'a une racine double, il se passe quoi ?

MERCI

[girdav]

Bonjour,
si les racines sont simples, comme deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres distinctes sont indépendants, ceux-ci vont former une base. Il se trouve que la matrice est diagonale dans cette base.
S'il y a une racine double, il faut regarder la dimension de l'espace propre associé à cette valeur propre. Ici, s'il est de dimension deux, la matrice sera diagonalisable. Sinon (il est donc de dimension ), la matrice ne le sera pas.

[miikou]

salut,

tu regarde le sous espace propre, enfin ca dimension surtout

[Nightmare]

Salut !

S'il y a une racine double, ta matrice se diagonalise donc en une matrice de la forme ou lambda est ta valeur propre, autrement dit, ta matrice elle même est !

[absolut-diabolik]

ok ok merci c gentil!!!

[Nightmare]

On m'a dit qu'il fallait calculer le polynome caractéristique et puis voir si il avait des racines simples. (déjà je comprends pas pquoi par rapport à la définition)

MERCI

est valeur propre de M s'il existe un vecteur x dit propre, non nul, tel que .

De manière équivalente, est valeur propre si s'annule pour un certain vecteur x non nul (n = dimension de l'espace vectoriel ambiant). Cela revient donc à montrer que n'est pas une matrice inversible et donc que son déterminer est nul.

Chercher une valeur propre, c'est donc chercher tel que . On montre facilement que le membre de gauche est en fait un polynôme en . C'est notre polynôme caractéristique.

Ensuite, dire que la matrice est diagonalisable veut dire que dans une certaine base, la matrice est diagonale. Cela veut donc dire que chaque vecteur de la nouvelle base est propre pour une certaine valeur propre (définition d'une matrice diagonale). Il n'est pas difficile de voir que cela équivaut au fait que chaque sous-espace formé des vecteurs propres (et du vecteur nul...) pour une valeur propre donnée , appelés les sous-espaces propres, est disjoint d'un autre, et que leur somme donne l'espace entier (ils sont en somme directe quoi).

Si a présent, ta matrice admet une unique valeur propre, dire qu'elle est diagonalisable reviendrait donc à dire que l'ensemble des vecteurs propre pour cette valeur propre est l'espace ambiant, ici R², tout entier. Ceci veut donc dire que tout vecteur de R² est propre, et donc par définition, que ta matrice est une homothétie de rapport ta valeur propre ().

J'espère que c'est un peu plus clair dans ta tête à présent. Je n'ai pas abordé le rapport entre l'ordre des valeurs propre dans le polynôme caractéristique et la dimension des SEP, tu peux essayer de voir toi même comment ça marche.

:happy3:

[alavacommejetepousse]

est valeur propre de M s'il existe un vecteur x dit propre, non nul, tel que .

De manière équivalente, est valeur propre si s'annule pour un certain vecteur x non nul (n = dimension de l'espace vectoriel ambiant). Cela revient donc à montrer que n'est pas une matrice inversible et donc que son déterminer est nul.

Chercher une valeur propre, c'est donc chercher tel que . On montre facilement que le membre de gauche est en fait un polynôme en . C'est notre polynôme caractéristique.

Ensuite, dire que la matrice est diagonalisable veut dire que dans une certaine base, la matrice est diagonale. Cela veut donc dire que chaque vecteur de la nouvelle base est propre pour une certaine valeur propre (définition d'une matrice diagonale). Il n'est pas difficile de voir que cela équivaut au fait que chaque sous-espace formé des vecteurs propres (et du vecteur nul...) pour une valeur propre donnée , appelés les sous-espaces propres, est disjoint d'un autre, et que leur somme donne l'espace entier (ils sont en somme directe quoi).

Si a présent, ta matrice admet une unique valeur propre, dire qu'elle est diagonalisable reviendrait donc à dire que l'ensemble des vecteurs propre pour cette valeur propre est l'espace ambiant, ici R², tout entier. Ceci veut donc dire que tout vecteur de R² est propre, et donc par définition, que ta matrice est une homothétie de rapport ta valeur propre ().

J'espère que c'est un peu plus clair dans ta tête à présent. Je n'ai pas abordé le rapport entre l'ordre des valeurs propre dans le polynôme caractéristique et la dimension des SEP, tu peux essayer de voir toi même comment ça marche.

:happy3:

une précision deux sev d un meme ev sont rarement disjoints

[Nightmare]

Oui c'est une mauvaise habitude que j'ai prise, mais je dis toujours cela en pensant bien entendu que 0 est dedans.

[Dihtbscii]

Salut !

S'il y a une racine double, ta matrice se diagonalise donc en une matrice de la forme ou lambda est ta valeur propre, autrement dit, ta matrice elle même est !

S'il y'a une racine double, la matrice est diagonalisable?!
Il faut regader la dimension du sous espace propre associé à ta valeure propre, si c'est 2 ok, sinon (1) ce n'est pas diagonalisable... :hum:
Vous n'avez pas abordé le cas ou le polynome n'est pas scindé il me semble, auquel cas la matrice n'est pas diagonalisable.

[Nightmare]

Je suppose la matrice diagonalisable (c'est vrai j'aurais dû le préciser) et je dis qu'alors, s'il y a racine double, la matrice se diagonalise en lambda I2 et donc qu'elle vaut lambda I2.

Il fallait donc comprendre que notre matrice était diagonalisable si et ssi c'était une homothétie.

[Dihtbscii]

ok :we: