Développement limité

[Anonyme]

bonsoir à tous
comment peut on calculer le développement limité au voisinage de 0 de f(x)=e^(x)*ln(1+x)
ainsi que de g(x)=ln(1+tan x)/(1-tan x)
merci beaucoup de l'aide que vous pourrez m'apporter.si vous arriver a résoudre cela pouvez vous m'expliquer clairement comment faire pour calculer un développement limité car je ne comprends vraiment pas bien comment il faut faire.
merci encore

[Chimerade]

Tu as deux méthodes. Soit tu calcule les dérivées successives :

f'(x0), f''(x0), f'''(x0), ... etc

et tu appliques la formule :



Soit tu multiplies les développements limités des deux fonctions, comme des polynômes :

Si

et

alors, si h(x)=f(x)*g(x),

[fonfon]

salut , je t'explique pour f(x)=e^x*ln(x+1) pour g(x) c'est pareil sauf que tu poses tanx=x

Soit DL en 0 je le fait à l'ordre 4 mais tu peux generaliser à l'ordre n:

e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^4E(x) avec limE(x)=0 qd x->0

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+xE(x) avec limE(x)=0 qd x->0

donc e^x.ln(x+1)=(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^4E(x))*(x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+xE(x))

tu developpes 1*x-x^2/2...etc dés que tu vois que le pdt de 2 facteurs depassent le degrès 4 tu ne les prends pas en compte(car on le fait à l'ordre 4 si c'etait ordre 5 il faudrait que le pdt ne depasse pas le degrès 5 ..)

donc
e^x.ln(x+1)=(x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^2-x^3/2+x^4/3+x^3/2-x^4/4+x^4/6+x^4E(x))

soit à l'ordre 4:(après simplification)
e^x.ln(x+1)=(x+x^2/2+x^3/3+x^4E(x))