Développement limité [spé]

[tini76850]

Bonjour,
J'ai quelque problème pour montrer proprement la question suivante:


Démontrer l'existence puis l'unicité d'une suite réelle (ak), avec k entier naturel, tel que pour tout n de N*
x/(sh(x))=(somme de k=0 à n) de ak*x^(2k) + o(x^2n) pour x->0


J'ai également du mal à verifier que la suite (ak) vérifie :
(somme de k=0 à n) de an-k/(2k+1)!=0 avec an-k = a indice (n-k)
J'ai essayé de le faire par récurrence mais je n'y arrive pas.


Si quelqu'un pouvait me donner des pistes.
Merci d'avance.

[Maxmau]

Bj

Fais le DL de Shx à l’ordre 2n+1 en x=0
Après simplification par x, tu obtiens x/Shx comme quotient de 1 par un DL d’ordre 2n de terme constant non nul que je note ;).
Tu connais le résultat sur le quotient de 2 DL
x/Shx admet donc un DL à l’ordre 2n (cela quel que soit n)
Ce DL ne contient que des monômes d’exposant pair puisque x/Shx est paire

Si tu multiplies ce dernier DL (avec ses coeff inconnus ak) par ;) tu dois trouver 1.
Cela doit te donner les relations demandées

PS : N’oublie pas que si f admet un DL à n’importe quel ordre, les coeff du DL à l’ordre k sont les mêmes que ceux de même rang dans le DL à l’ordre n (k