Soit
J'essaye de trouver le developpement limité au voisinage de
Voiçi comment je procède :
On a :
On pose :
Alors:
Maintenant, il ne reste que de se debarasser de
Est ce qu'on a :
Merci d'avance !!
Développement limité !
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Développement limité !
par barbu23 » 27 Aoû 2007, 01:01
Bonsoir:
Soit
une fonction definie sur 
par :  = (1+x+x^{2})^{\frac{1}{2}} $)
.
J'essaye de trouver le developpement limité au voisinage de
de la fonction à l'ordre de 
.
Voiçi comment je procède :
On a :^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^{2}}{8} + \frac{u^{3}}{16} + o(u^{3}) $)
On pose :
Alors:
 = (1+x+x^{2})^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{x+x^{2}}{2} - \frac{(x+x^{2})^{2}}{8} + \frac{(x+x^{2})^{3}}{16} + o((x+x^{2})^{3}) $)
 = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{3}}{16} + o((x+x^{2})^{3}) $)
 = 1 + \frac{1}{2}.x + \frac{3}{8}.x^{2} - \frac{3}{16}.x^{3} + o((x+x^{2})^{3}) $)
Maintenant, il ne reste que de se debarasser de^{3}) $)
et mettre à sa place  $)
, vous savez comment faire ça ?! cela ne se fait pas biensûr arbitrairement ... !
Est ce qu'on a :^{3}) = o(x^{3}) $)
?.
Merci d'avance !!
Soit
J'essaye de trouver le developpement limité au voisinage de
Voiçi comment je procède :
On a :
On pose :
Alors:
Maintenant, il ne reste que de se debarasser de
Est ce qu'on a :
Merci d'avance !!
par barbu23 » 27 Aoû 2007, 01:45
Je pense que c'est correcte ça n'est ce pas ?!
On a : \hspace{10cm} \Longleftrightarrow \hspace{10cm} u_{n} << v_{n} $)
Donc, on a :^{3})=o(x^{3}) $)
, parceque : ^{3}) << x^{3} $)
et  << (x+x^{2})^{3} $)
.
Est ce que c'est correcte ça ?!
On a :
Donc, on a :
Est ce que c'est correcte ça ?!
par achille » 27 Aoû 2007, 01:59
le quotient de (x+x^2)^3 par x^3 tendera vers 1 au voisinage de zéro, donc les quantités sont équivalentes, si quelque chose est négligeable devant l'une elle devrait l'être devant l'autre, et donc tu as le droit de faire ta petite manipulation je crois...
par barbu23 » 27 Aoû 2007, 16:04
Bonjour "achille" :
Merci d'avoir repondu à ma question !!
Alors :^{3} $)
~ 
car : ^{3}}{x^{3}} = \displaystyle \lim_{x \longrightarrow 0} (\frac{x+x^{2}}{x})^{3} = \displaystyle \lim_{x \longrightarrow 0} (1+x)^{3} = 1 $)
Après tu dis que si : = o((x+x^{2})^{3}) \hspace{10cm} \Longrightarrow \hspace{10cm} f(x) = o(x^{3}) $)
ou  = o(x^{3}) \hspace{10cm} \Longrightarrow \hspace{10cm} f(x) = o((x+x^{2})^{3}) $)
, mais je ne vois pas encore pourquoi : .
Merci d'avance de votre aide!!
Merci d'avoir repondu à ma question !!
Alors :
Après tu dis que si :
Merci d'avance de votre aide!!
par anima » 27 Aoû 2007, 16:05
barbu23 a écrit:Je pense que c'est correcte ça n'est ce pas ?!
On a :
Donc, on a :
Est ce que c'est correcte ça ?!
Je préfere la notation
Et donc on peut "ranger" tout ca dans l'Epsilon (multiplication par 1 quand x tend vers zéro. Aucun changement,
par achille » 27 Aoû 2007, 19:17
salut.
je m'explique, espérant que j'ai raison après tout...
L'idée est que si on néglige une quantité A devant un terme B, et que ce terme est équivalent à un autre C, on peut affirmer que A est négligeable devant C, alors il suffit de prouver que B et équivalent à C, et pour faire il faut prouver que la limite du quotient tend dans le voisinage en question vers 1 ( car c'est ce qu'est l'équivalence par définition).
Pour être plus proche de l'exemple : supposant une certaine expression A=o(x^3), au voisinage de zéro on a
((x+x^2)^3)/x^3 tend vers 1 au voisinage de 0 donc on aura (x+x^2)^3 équivalente à x^3 au voisinage de 0 et donc
A=o(x+x^2)^3
et enfin : o(x+x^2)^3=o(x^3)
je m'explique, espérant que j'ai raison après tout...
L'idée est que si on néglige une quantité A devant un terme B, et que ce terme est équivalent à un autre C, on peut affirmer que A est négligeable devant C, alors il suffit de prouver que B et équivalent à C, et pour faire il faut prouver que la limite du quotient tend dans le voisinage en question vers 1 ( car c'est ce qu'est l'équivalence par définition).
Pour être plus proche de l'exemple : supposant une certaine expression A=o(x^3), au voisinage de zéro on a
((x+x^2)^3)/x^3 tend vers 1 au voisinage de 0 donc on aura (x+x^2)^3 équivalente à x^3 au voisinage de 0 et donc
A=o(x+x^2)^3
et enfin : o(x+x^2)^3=o(x^3)
par barbu23 » 27 Aoû 2007, 20:11
D'accord "achille" ,merci !!
on peut faire plus simple, regarde :
^{3}) = \epsilon(x).(x+x^{2})^{3} = \epsilon(x).(x^{3}+3.x^{4}+3.x^{5}+x^{6}) = \epsilon(x).(1+3.x+3.x^{2}+x^{3}).x^{3} = \epsilon(x).(1+\epsilon_{1}(x)).x^{3} = o(x^{3}) $)
car :.(1+\epsilon_{1}(x))) = \displaystyle \lim_{x \longrightarrow 0} \epsilon(x).(1+3.x+3.x^{2}+x^{3}) = 0 $)
.
Voilà !!
on peut faire plus simple, regarde :
car :
Voilà !!
par barbu23 » 27 Aoû 2007, 20:13
Je me demande si on est obligé de passer par toutes ces étapes là à chaque exercice, c'est très fatiguant ça !!
par anima » 27 Aoû 2007, 20:17
barbu23 a écrit:Je me demande si on est obligé de passer par toutes ces étapes là à chaque exercice, c'est très fatiguant ça !!
Tu le dis, et puis voila. Du moment que ton expression finale dans l'epsilon tend vers zéro, tu es tranquille...
par barbu23 » 27 Aoû 2007, 20:21
Maintenant, je comprends ce que tu voulais dire "anima", merci !!
j'ai pas bien lu ton message au debut !!
merci quant même !!
j'ai pas bien lu ton message au debut !!
merci quant même !!
par barbu23 » 28 Aoû 2007, 14:32
Bonsoir :
Soit une fonction définie sur 
par :  = e^{\cos(x)} $)
.
Je suis entrain de chercher le développement limité au voisinage de
de à l'ordre de 
.
le développement limité au voisinage de de la fonction : 
(resp.  $)
) à l'ordre de 
est :
 $)
 = 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!}.x^{4} - ... + (-1)^{n}.\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}) $)
Voiçi comment j'ai procédé moi :
A l'ordre de, on a :
 $)
.
 = 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!}.x^{4} + o(x^{5}) $)
.
On a: = \displaystyle \lim_{x \longrightarrow 0} 1 - \frac{1}{2!}.x^{2} + \frac{1}{4!}.x^{4} + o(x^{5}) = 1 \neq 0 $)
.
Alors, dans cette phase là, il faut procéder de la manière suivante :
} = e^{1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!}.x^{4} + o(x^{4})} = e.e^{- \frac{1}{2!}.x^{2} + \frac{1}{4!}.x^{4} + o(x^{4})} $)
.
et :) = 0 $)
.
 = e.(1+(-\frac{1}{2!}.x^{2} + \frac{1}{4!}.x^{4}) + \frac{(-\frac{1}{2!}.x^{2} + \frac{1}{4!}.x^{4})^{2}}{2} + \frac{(-\frac{1}{2!}.x^{2} + \frac{1}{4!}.x^{4})^{3}}{6} + \frac{(-\frac{1}{2!}.x^{2} + \frac{1}{4!}.x^{4})^{4}}{24} + o(x^{4})) $)
Je trouve à la fin du calcul :
 = e - e.\frac{x^{2}}{2} + e.\frac{x^{4}}{6} + o(x^{4}) $)
Mais, il me semble , d'après le corrigé de l'exercice, qu'il y'a une étape que je ne maitrise pas bien :
c'est qu'on a pas besoin de^{3}}{6} + \frac{(-\frac{1}{2!}.x^{2} + \frac{1}{4!}.x^{4})^{4}}{24} $)
dans : .
et même dans le livre, il y'a ça, alors que moi, j'ai pas aboutit à cette même methode : Donc, bref, comme vous le remarquez çi-dessus, j'ai remplacé : $)
qui est à l'ordre de 
dans ça : qui est à l'ordre de également .. alors que dans ce bouquin, ils se sont contenté de remplacer : qui à l'ordre de dans ça  $)
qui est tout simplement à l'ordre de 
au lieu de comme c'est demandé dans l'exo .( ..et, il s'avère que c'est la bonne methode ) ... Pouvez vous m'expliquez ça, comment ils l'ont su dans le bouquin, comment ils sont tombés dans le bon ordre qui est ...
Merci d'avance !!
P.S : J'espère que c'est clair ce que j'ai écrit, j'ai trop bavardé, désolé .. !!
Soit
Je suis entrain de chercher le développement limité au voisinage de
le développement limité au voisinage de
Voiçi comment j'ai procédé moi :
A l'ordre de
On a:
Alors, dans cette phase là, il faut procéder de la manière suivante :
et :
Je trouve à la fin du calcul :
Mais, il me semble , d'après le corrigé de l'exercice, qu'il y'a une étape que je ne maitrise pas bien :
c'est qu'on a pas besoin de
et même dans le livre, il y'a ça, alors que moi, j'ai pas aboutit à cette même methode : Donc, bref, comme vous le remarquez çi-dessus, j'ai remplacé :
Merci d'avance !!
P.S : J'espère que c'est clair ce que j'ai écrit, j'ai trop bavardé, désolé .. !!
par anima » 28 Aoû 2007, 15:47
Et c'est juste en plus! :ptdr:
Le pourquoi de ta question tient de ca:
Tout ce qui est au dessus du degré 4 est tronqué et automatiquement placé dans l'epsilon (mis en facteur). le (x^2/2+x^4/24)^3 ne sert donc a rien.
Une bonne part des D.L.s apprend l'optimisation et le calcul méditatoire. Regarde bien ce que tu vas faire, et tu peux en général trouver beaucoup de simplifications pré-calcul.
par barbu23 » 29 Aoû 2007, 01:16
Bonsoir:
Merci "anima" pour toutes ces précisions là!
Est ce que si :
 = g(x) + o(x^{4}) $)
.
 = k(x) + o(x^{4}) $)
.
alors :
 + h(x) = g(x) + k(x) + o(x^{4}) $)
.
Merci "anima" pour toutes ces précisions là!
Est ce que si :
alors :
par barbu23 » 29 Aoû 2007, 01:19
oui oui oui la reponse est oui, je sais pas ce qui me prend aujourd'hui, ça fait longtemps que j'ai pas fait de developpement limités ... ! :briques:
par achille » 29 Aoû 2007, 10:07
ça sera oui car si o(x^4)=tx^4 avec t qui tend vers 0, ça d'une part pour f, et pour g o(x^4)=kx^4 avec k qui tend vers 0, alors lorsque tu sommeras les relations tu auras : (t+k)x^4 = o(x^4) car naturellement t+k tendera vers 0...
faut vraiment que j'apprenne ce latex sory pour l'abominable écriture :triste:
faut vraiment que j'apprenne ce latex sory pour l'abominable écriture :triste:
par barbu23 » 30 Aoû 2007, 16:29
Bonjour :
J'ai deux petites questions à vous poser :
1) Est ce que la série $)
converge ?.
2) Est ce que si
converge alors :  $)
converge ? .
Merci d'avance !!
J'ai deux petites questions à vous poser :
1) Est ce que la série
2) Est ce que si
Merci d'avance !!
par barbu23 » 30 Aoû 2007, 18:09
:lol2:
oui mais avec une démonstration, ce serait plus sympas !!
Est ce que tu sais comment les démontrer ?!!
oui mais avec une démonstration, ce serait plus sympas !!
Est ce que tu sais comment les démontrer ?!!
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