Développement limité

[mehdi-128]

Bonsoir,je bloque sur cet exercice:

Trouver (a,b) appartenant a R^2 tel que :

int[0...+inf](dx /1+x^n)=a+b/n + o(1/n) quand n->+inf

Je voudrais juste un indice pour commencer ,merci.....

[fahr451]

bonsoir

combien vaut a à ton avis ?

[mehdi-128]

Euh,en fait j'en ai aucune idée....

[fahr451]

en admettant que tu peux passer à la limite sous l'intégrale tu trouves combien ?

[yos]

Faut découper en deux intégrales non? Sur [0,1] et .

[mehdi-128]

en admettant que tu peux passer à la limite sous l'intégrale tu trouves combien ?


En fait je vois pas de qu'elle limite il s'agit?

[thomasg]

bonsoir,

int(0; +inf)=lim quand t tend vers +inf de int(0;t)

a bientôt.

[fahr451]

on n 'a pas n ->+inf ?

[mehdi-128]

Si,mais si on note I l'intégrale:

I=a+b/n+o(1/n) <=> nI-na-b ->(n->+inf)[0]

mais je vois pas comment on trouve a ....

[fahr451]

a est la limite de In puisque b/n et 0(1/n) tendent vers 0
PRIORITE trouver a

pour ça sans rigueur passer à la limite qd n ->+inf sous l intégrale ...

[mehdi-128]

Je trouve a=1
J'ai décomposé l'intégrale en 2 parties:[0,1] et [1,+inf]...
J'ai un léger doute a cause du cas :x=1....
C'est ca?

[fahr451]

oui a = 1

maintenant il faut le prouver rigoureusement


comme tu le proposais découpe en 2

et prouve par convergence dominée le résultat

[mehdi-128]

En fait j'ai un léger problème pour x=1 car x^n->0 pour x<1 ,donc quand je décompose l'intégrale en 2 est-ce que je peux ne pas prendre en compte la valeur x=1 dans l'intégrale?

Par ailleurs pour le TCD ,je dois majorée:fn(x)=1/1+x^n par une fonction intégrable :/fn(x)/=<1/(1+x) ....

[fahr451]

x= 1 ne pose aucun problème

sur [0,1] fn(x)= 1/(1+x^n) -> f(x) avec f(x) = 1 si x<1 et f(1) = 1/2
f est continue par morceaux

et fn est dominée par 1
donc intégrale de 0 à 1 de fn -> intégrale de 0 à 1 de f
fais pareil pour [1,+inf[

[mehdi-128]

Ah ok sur ]1,+inf[ c'est direct car lim(fn(x))=f(x)=0 donc l'intégrale entre 1 et +inf de 1/1+x^n tend vers 0....

Mais pour le a si on prend en compte le x=1 ,je trouve:a=1+1/2

[fahr451]

sur[1,+inf [ fn(x) -> f(x)=0 si x>1 et fn(1) ->1/2 = f(1)

f est intégrable sur R+ d'intégrale nulle

et fn est dominée par g(x) = 1/(1+x^2) intégrable sur [1,+inf[ (n>=2)

donc le théorème de cv dom inée assûre que l'intégrale de fn tend vers 0


pour trouver bn

1 retrancher la limite à la première intégrale faire rentrer la limite ds l 'intégrale (1 = intégrale sur [0,1] de 1) et poser x ^n = t puis cv dominée

2 poser t = x^n ds la deuxième intégrale puis cv dominée

[thomasg]

Bonjour,

à propos de la dernière question de medhi,

(vous m'arrétez si je raconte n'importe quoi, comme cela m'est déjà arrivé dans cette discussion)

Quand on travaille sur une intégrale il ne peut pas y avoir de problème en un seul point (ici x=1), car une intégrale sur un point est toujours nulle. Non ?

[mehdi-128]

Ah ok merci ....

[fahr451]

Bonjour,

à propos de la dernière question de medhi,

(vous m'arrétez si je raconte n'importe quoi, comme cela m'est déjà arrivé dans cette discussion)

Quand on travaille sur une intégrale il ne peut pas y avoir de problème en un seul point (ici x=1), car une intégrale sur un point est toujours nulle. Non ?

humhum

sur [0,1] f définie par f(t) = 1/t pour t>0 et f(0) = 1 pose un unique problème en t = 0 et l'intégrale sur [0,1]n'existe pas

[mehdi-128]

Rebonjour:

En décomposant l'intégrale en 2 ,et en posant y=1/x dans l'une,j'obtiens:
I(n)=int[0..1] (1+x^(n-2))/(1+x^n)dx
Ensuite j'effectue:

/I(n)-1/=int[0...1](x^(n-2)-x)/(1+x^n)dx=
Or,2/(n^2-1) est un grand O pour n->+inf de 1/n^2...

Ainsi,j'obtiens a=1 et b=0 ,c'est ca?