Développement limité

[kaito974]

Bonjour,je cherche un développement limité en 0 dordre 1 de la fonction suivante : f(t,0)= [g(t)-g(0)]/t où f est de classe C(infini) et g définie de R dans R .

je n'arrive pas à trouver de fonction polynome P de degré inférieure à 1 tel que :f(t)-P(t) soit négligeable devant x

[fahr451]

bonjour

je ne comprends pas l énoncé

[kaito974]

Soit g une fonction de R dans R de classe C^infini sur R. On définit alors la fonction sur R² par f(x,y)=[g(x)-g(y)]/(x-y) si x différent de y et f(x,x)=g'(x)

1)Pour x et y fixés disctincts montrer l'existence d'un réel c entre x et y tel que f(x,y)=g(c)
ici j'ai utilisé le théoreme des acroissements finis

2)En déduire la continuité de f en (0,0)
j'ai répondu en disant que f(0,0)=g'(0) qui appartient à R donc f admet une limite réel en (0,0) et est continue en (0,0)

3)Donner lé dérivés partielles principales de f en (-1,2)
j'ai alors calculé D1f(-1) puis D2f(2)

4)Soit u(t)=f(t,0)
Montrer que u admet un développement limité d'ordre 1 en 0.
en déduire en fonction de g les dérivées partielles principales de f en (0,0)

[fahr451]

le 2 n est pas correct

[kaito974]

pour la 2 je devrais dire que plus x et y se rapproche de 0 plus le choix de c de rapproche de 0 ?

[fahr451]

quelque chose comme ça

[kaito974]

je n'arrive pas à répondre..

[fahr451]

pour x différent de y, c est compris entre x et y lorsque (x,y) ->(0,0) x et y tendent vers 0 donc c aussi et par continutité de g ' , g '(c) tend vers g'(0) = f(0,0)
et pour x = y f (x,x) = g '(x) ->g'(0) lorsque (x,x)->(0,0)

donc f est continue en (0,0)

[kaito974]

en effet merci
mais comment répondre à la 4 ?

[fahr451]

je comprends pas le 4

ce sont les mêmes f et g qu'aux 1,2,3 ?

[kaito974]

désolé,j'ai corrigé l'erreur dans la question 4

[fahr451]

t non nul


u(t) = [g(t) -g(0) ]/t = (dl de g ordre 2)
= [t g '(0) +(t^2/2 )g" (0) +o(t^2) ] /t = g ' (0) + tg " (0) /2 +0(t)
encore vrai pour t = 0 donc dl ordre 1 en 0
u a même un dl a tout ordre en 0