Développement limité ln

[novicemaths]

Bonsoir

Je dois réaliser le développement limité en 0 à l'ordre 6 du logarithme ci-dessous.

ln[(1-x)(1+2x)]
Afin de faciliter les calculs, puis je réaliser la transformation ci-dessous avant de faire les dérivée successifs.




A bientôt

[tournesol]

Je ne comprends pas ce que vient faire ce =0 ?
D'autre part le plus rapide est de calculer le DL à partir de ln(1-x)+ln(1+2x)

[novicemaths]

Bonsoir

j'ai eu un moment d'inattention.

Je ne me rappelé plus de cette propriété du logarithme.

A bientôt

[Black Jack]

Salut,

N'y a t-il pas un soucis ?

ln[(1-x)(1+2x)] est défini pour x dans ]-1/2 ; 1[ (1)

Le développement de ln(1-x) = -x - x²/2 + x³/3 - ... - x^n/n - ... est valable pour x dans ]-1 ; 1[ --> pas de soucis avec (1)

Le développement de ln(1+2x) = (2x) - (2x)²/2 + (2x)³/3 - (2x)^4/4 + ... + (-1)^n*(2x)^n/n + ... est valable pour 2x dans ]-1 ; 1[, donc pour x dans ]-1/2 ; 1/2[

Pour x > 1/2, le développement de ln(1+2x) tel que je l'ai écrit diverge... et donc quid de l'intervalle [1/2 ; 1[ ?

[GaBuZoMeu]

Aucun souci, ce qui est demandé est le développement limité en 0 à l'ordre 6.
BlackJack, tu devrais enlever les lunettes noires de ton émoji, il verrait mieux la question posée.

[Black Jack]

Aucun souci, ce qui est demandé est le développement limité en 0 à l'ordre 6.
BlackJack, tu devrais enlever les lunettes noires de ton émoji, il verrait mieux la question posée.

Cela n'enlève pas mon émoi.

Pas de soucis "très près de 0", mais le DL de ln(1+2x) à l'ordre 6 si on veut n'est convergent que sur une moitié de l'intervalle d'existence de ln[(1-x)(1+2x)]

Cela veut dire quoi "DL en 0", il faut bien que ce soit OK" autour de 0" , et cela veut dire quoi "autour de 0" ?

[GaBuZoMeu]

Black Jack, ce que tu écris n'a vraiment aucun sens. À commencer par "DL à l'ordre 6 convergent".

Tu devrais réapprendre la définition de développement limité.

Soit f une fonction définie au voisinage de 0 (ça veut dire "dont le domaine de définition contient un intervalle ouvert non spécifié contenant 0"). On dit que f admet un développement limité à l'ordre n en 0 s'il existe un polynôme P de degré inférieur ou égal à n tel que f(x) = P(x) + o(x^n) au voisinage de 0 (autrement dit, f(x)-P(x) est négligeable devant x^n au voisinage de 0). Le polynôme P est alors unique et s'appelle la partie régulière du développement limité à l'ordre n.

La notion de développement limité est une notion locale, et il n'y a absolument aucune histoire de convergence dans les développements limités.

Tu confonds sans doute avec le développement en série d'une fonction analytique, qui est une histoire différente.

[Black Jack]

GaBuZoMeu, Aveugle ou de mauvais foi ou critique pour le plaisir ?

Soit, mon dernier message avait un mot malheureux.

Voir le 1er où il était clairement écrit :

Le développement de ln(1+2x) = (2x) - (2x)²/2 + (2x)³/3 - (2x)^4/4 + ... + (-1)^n*(2x)^n/n + ... est valable pour 2x dans ]-1 ; 1[, donc pour x dans ]-1/2 ; 1/2[

A moins d'être aveugle ou de mauvaise foi, il était là question du développement avec un nombre infini de termes et pas un DL

MAIS si on utilise un DL (par exemple en s'arrêtant après le 6 eme), on ne peut plus parler de convergence ... cependant si le développement infini diverge en dehors de x dans ]-1/2 ; 1/2[, alors le DL a beau ne pas diverger (puisque cela ne veut rien dire), il risque fort de ne pas être "proche" du tout de la fonction de départ pour la variable en dehors de]-1/2 ; 1/2[

Donc, mon soucis, qui est très légitime, même si d'aucuns ne le comprennent pas, est que le DL ne sera pas représentatif du tout de la fonction sur une partie importante du domaine de définition de la fonction de départ.

Et cela resterait vrai pour un DL avec un ordre très grand.

Voila ce que cela donne :



Comme on a un énoncé sans le moindre contexte, on ne peut pas dire si cela pose au non un problème concret.

Dans "la vraie vie", si on est amené à ce genre de pratique (utilisation de DL), on doit savoir les précisions que cela donnent pour l'intervalle des valeurs utiles de la variable ... pour voir si les conclusions qu'on pourrait en déduire sont ou non valables dans l'application sur le problème concret (quel qu'il soit)

Voila mon soucis.

[GaBuZoMeu]

Et c'est toi qui me trouves de mauvaise foi ? Décidément tu es impayable.

1°) La question initiale était claire et sans ambiguïté :

Je dois réaliser le développement limité en 0 à l'ordre 6 du logarithme ci-dessous.

Tu as fait une confusion et tu es parti sur une histoire de développement en série qui n'a rien à voir avec la question.

2°) Je te fais remarquer que la question posée concerne un DÉVELOPPEMENT LIMITÉ (en te charriant un peu sur ta manie de mettre un émoji à lunettes noires).

3°) Là-dessus tu insistes et tu pars sur un délire complet

le DL de ln(1+2x) à l'ordre 6 si on veut n'est convergent que sur une moitié de l'intervalle d'existence de ln[(1-x)(1+2x)]

et tu demandes "Cela veut dire quoi "DL en 0".

4°) Devant ce ramassis d'absurdités, je mets les choses au point en rappelant la définition de développement limité.

Tout le monde peut voir qui est aveugle (d'où les lunettes noires ?) ET de mauvaise foi.

[Black Jack]

Et c'est toi qui me trouves de mauvaise foi ? Décidément tu es impayable.

1°) La question initiale était claire et sans ambiguïté :

Je dois réaliser le développement limité en 0 à l'ordre 6 du logarithme ci-dessous.

Tu as fait une confusion et tu es parti sur une histoire de développement en série qui n'a rien à voir avec la question.

2°) Je te fais remarquer que la question posée concerne un DÉVELOPPEMENT LIMITÉ (en te charriant un peu sur ta manie de mettre un émoji à lunettes noires).

3°) Là-dessus tu insistes et tu pars sur un délire complet

le DL de ln(1+2x) à l'ordre 6 si on veut n'est convergent que sur une moitié de l'intervalle d'existence de ln[(1-x)(1+2x)]

et tu demandes "Cela veut dire quoi "DL en 0".

4°) Devant ce ramassis d'absurdités, je mets les choses au point en rappelant la définition de développement limité.

Tout le monde peut voir qui est aveugle (d'où les lunettes noires ?) ET de mauvaise foi.

Celui qui délire n'est pas celui qui GaBuZoMeu pense ...

Bien sûr, exercice d'école ... mais qu'en est-il de l'énoncé complet et pas de cet extrait ?

Et même si c'était l'énoncé complet, on reconnaîtrait bien là le manque de réalisme beaucoup trop fréquent de l'enseignement.

On enseigne les maths en oubliant complètement quelles ne sont utiles pour 99,9999 % des "utilisateurs", hors enseignement (le 0,0001 % restant étant les esprits sur des assiettes qui font des maths pures (ou pensent en faire pour encore une bonne proportion de ce 0,0001 % restant) que pour résoudre des problèmes concrets (mécanique, électrique, ...)

Et dans les problèmes concrets (donc qui concernent l'énorme majorité des utilisateurs des maths) on ne peut pas faire l'oreille de veau sur le type de remarque qui est ici mon soucis.

Que l'enseignement ne soit pas du tout en adéquation avec ce qui sera utile dans la "vraie vie" est bien connu, que des aveugles comme GaBuZoMeu soient dans la même veine est une chose évidente.

Ici, il y a un problème avec le fait que le DL ne représente pas du tout la fonction sur une bonne partie du domaine d'existence de la fonction ...

- Ou, on fait l'oreille de veau en se retranchant derrière un énoncé quelles que soient ses lacunes et on occulte les problèmes cachés (qui adviendraient dans une application sur problème concret).
- Ou bien, on attire l'attention sur ce "soucis" et on le mentionne. (cela devrait quand même bien être un des but d'un forum d'attirer l'attention sur des problèmes potentiels).

Je fais partie de la 2ème catégorie.

Gabuzomeu de l'autre ... et il est fier d'en être.

J'en resterai là, Gabuzomeu est incapable de comprendre quand il se plante (comme il n'y a pas encore longtemps sur la manière d'écrire des calculs avec ou sans unités et ... ).

[GaBuZoMeu]

Black Jack est absolument incapable de reconnaître ses erreurs, ce n'est pas la première fois que je le constate. Il préfère faire du hors-sujet pour noyer le poisson.

Tout ça nous éloigne du sujet du fil. J'espère que novicemaths a pu répondre à sa question, malgré les perturbations apportées par Black Jack.

[tournesol]

Un DL du type Taylor Young ( avec un o à la fin) n'est jamais utilisé pour approcher une fonction mais pour résoudre d'autre pb ( limites , etc.) Si on veut approcher une fonction ,on utilise Taylor Lagrange avec ou sans reste integral pour controler l'approximation .Ces trois DL sont valables hors rayon de convergence de la serie de Taylor .

[Black Jack]

"Ces trois DL sont valables hors rayon de convergence de la serie de Taylor ."

S'il faut comprendre par là que les DL peuvent aussi être utilisés pour l'intervalle de x où la série de Taylor diverge, cela ne rime à rien.

Voir les dessins de message du 26 Avr 2020 09:34, où sont représentés le DL en 0 à l'ordre 6 de ln(1+2x) et f(x) = ln(1+2x)

En quoi, le DL peut-il être utile pour x proche de 0,8 par exemple ?

Peut-être n'ai-je pas compris ton message.

[tournesol]

Les hypothèses d'application de l'égalité de Taylor Lagrange sont indépendantes de la convergence de la série de Taylor . D'où ma dernière phrase .
En ce qui concerne ln(1+2x) , TL donne DL(1/2)<ln(2)<DL(1/2)+1/7 .
C'est l'utilisateur qui dispose d'une majoration de l'erreur et même de son signe . Il en fait ce qu'il en veut .
J'ai d'autre part bien compris l'intérêt ton message ainsi que son illustration qui montre que l'erreur devient abyssale lorsqu'on s'éloigne trop de 0 .