Développement Limité

[Arthurodur]

Bonjour,

Je dois calculer le développement limité à l'ordre 9 en 0 de tan(x), je sais qu'il n'a pas une formule à l'ordre n et je pourrais donc le calculer avec cos(x)/sin(x) mais à cette ordre ça serait très long et mon professeur à indiquer qu'il faut être "astucieux" , vous auriez une idée ?

[GaBuZoMeu]

Avec cos(x)/sin(x), tu es mal parti. Je te conseille plutôt sin(x)/cos(x).
Par ailleurs la fonction tangente est impaire. Ça dit déjà des choses sur son d.l. en 0.

[mathelot]

on a

[Ben314]

Salut,

. . . je sais qu'il n'a pas une formule à l'ordre n . . .

Sinon, concernant cette partie là de ta prose, c'est comme toujours plus ou moins exact de dire qu'il n'y a "pas de formule". Ce qui est exact, c'est qu'on ne peut pas exprimer le n-ième coefficient avec les symboles "usuels" des mathématiques, mais si on accepte des symboles moins "usuels", on peut écrire que

Où désigne le -ième Nombre de Bernoulli (suite de nombres "classique" qui apparait dans plusieurs domaines des mathématiques)

[tournesol]

Etre astucieux aujourd'hui c'est savoir utiliser le net , donc pourquoi pas la formule générale .
Les seules astuces auxquelles je pense sont
la division suivant les puissances croissantes , ou utiliser le dl de l'arctan .

[tournesol]

on peut aussi essayer tan'=1+tan^2

[tournesol]

ma derniére réponse ( tan'=1+tan^2) donne un résultat rapide et facile à calculer .

[mathelot]

ma derniére réponse ( tan'=1+tan^2) donne un résultat rapide et facile à calculer .

soient les coefficients inconnus a,b,c,d réels







d'où le système





remarque

[LB2]

Très bonne méthode de mathelot et tournesol.
Une méthode similaire serait de poser des coefficients inconnus, et de les calculer en utilisant que tan et arctan sont bijections réciproques, et que le DL de arctan est connu (en primitivant le DL de 1/(1+x^2)