Développement limité

[Este]

Bonjour,
Dans un exercice, je dois calculer le développement limité de ((ch(x)_cos(x))(sh(x)-sin(x))^2 à l'ordre 11
et dans un exercice similaire fait en cours nous nous avons d'abord factorisé par le développement limité des facteurs du produit, mais je n'a pas vraiment compris cette méthode pouvez-m'expliquer ?

[LB2]

trouve d'abord un équivalent simple de chaque parenthèse.

puis demande toi à quel ordre tu dois pousser le DL dans chaque parenthèse pour obtenir un ordre 11 dans le résultat global

[tournesol]

ch(x)=
cos(x)=
donc ch(x) - sh(x) =
sh(x)=
sin(x)=
donc sh(x) - sin(x)=
Nous sommes arrivés à ton développement des facteurs :

T u appliques la règle de troncature: tu ne développes que les termes qui te donnent une puissance de x inférieure ou égale à 11 .
Tu n'as donc que 3 produits sur 9 à calculer:

Même procédure avec le carré:

C'est facile à vérifier avec le tableur de la calculette:
((chx-cosx)(shx-sinx))^2/(x^10/9) pour de petites valeurs de x , tu obtiens 1 .

[tournesol]

Le conseil de LB2 est très important car:

La mise au carré donne

[Este]

En m'aidant de l'exercice fait en cours j'ai aboutit a cela ce n'est pas exactement ce que vous me demandez mais ça y ressemble un peu :
ch(x)-cos(x)=x^2 + ... + o(x^q)
=x^2 ( 1+ + ... + o(x^{q-2})
sh(x)-sin(x)=x^3 + ... + o(x^p)
=x^3 ( 1+ + ... + o(x^{p-3})

((ch(x)-cos(x))(sh(x)-sin(x))^2=(x^5 ( 1+ + ... + o(x^{q-2}) ( 1+ + ... + o(x^{p-3}))^2)
=(x^10 (DL ( ordre min(q-2,p-3)=1)

Je pense ne pense pas avoir bien compris vous explication car en reprenant la methode que la prof nous a donnée je ne comprend pas viens ce que veut dire (DL ( ordre min(q-2,p-3)=1)

[mathelot]

((ch(x)_cos(x))(sh(x)-sin(x))^2 à l'ordre 11

il manque une parenthèse fermante

[tournesol]

Il est facile de comprendre si on ne factorise pas .
(ch x - cos x)(sh x - sin x)=
L'ordre de ce DL est inf{p+2 , q+3 , q+p}
Mais on a et , donc et
Donc inf{p+2 , q+3 , q+p} = inf{p+2 , q+3}
Donc (ch x - cos x)(sh x - sin x)=
On en déduit que


On veut ssi ssi

Les valeurs minimales de p et q sont donc p=4 et q=3

[Este]

Merci pour votre temps !

[LB2]

si je peux me permettre (je sais que tu sais)
mon conseil sert justement à ne pas avoir à développer chaque facteur à l'ordre o(x^11).

En général j'essaie de donner aux élèves le réflexe de ne pas associer l'idée : "je veux un résultat en o(x^11)" à "j'écris mes DL usuels en o(x^11)"

ch(x)=
cos(x)=
donc ch(x) - sh(x) =
sh(x)=
sin(x)=
donc sh(x) - sin(x)=
Nous sommes arrivés à ton développement des facteurs :

T u appliques la règle de troncature: tu ne développes que les termes qui te donnent une puissance de x inférieure ou égale à 11 .
Tu n'as donc que 3 produits sur 9 à calculer:

Même procédure avec le carré:

C'est facile à vérifier avec le tableur de la calculette:
((chx-cosx)(shx-sinx))^2/(x^10/9) pour de petites valeurs de x , tu obtiens 1 .