Développement limité en 0

[Anaisdeistres]

Ecrire un développement limité à l’ordre 5 en 0 de x → tan(x)−sin(x)

Ecrire un développement limité à l’ordre 7 en 0 de x → tan^2(x)

Merci.

[pascal16]

c'est quand même pas trop dur de prendre les deux DL de son formulaire et d'en faire la soustraction.

[Anaisdeistres]

Voilà mais apparament la soustraction de deux exponentielle c'est pas possible il faut les factoriser d'abord alors je comprend plus rien parce que moi j'ai toujours fait cela jusqu'à cette année où j'apprend dans mon cours que la soustraction de deux exponentielle en +infini on peut pas trouver un développement il faut les factoriser d'abord je trouve cela assez fou si quelqu'un peut m'éclairer à ce propos

[pascal16]

un coup de google :
tan(x) = x + 1/3*x^3 +2/15*x^5 + o(x^5)
....
il est important de garder le "o" qui assure de ne pas écrire de bêtise contrairement aux équivalents

[Anaisdeistres]

Oui merci beaucoup je le met au carré alors pour tan^2(x) pas de soucis particulier

[aviateur]

Une question tout de même. Au bac ou à l'examen ça marche "un coup de goggle"?
tan(x) n'a pas de logique dans son DL et il n'est pas très connu (sauf par les bêtes à concours).
A mon avis c'est pas inutile de savoir le retrouver à la main (l'ordre 5 c'est pas bien méchant).

[pascal16]

tan²(x) =(x + 1/3*x^3 +2/15*x^5 + o(x^6))*( x + 1/3*x^3 +2/15*x^5 + o(x^6))

x*o(x^6) =o(x^7), tu vas gagner le degré qui manquait

[Anaisdeistres]

Oui bien-sûr merci

[mathelot]

tan(x) n'a pas de logique dans son DL

au contraire tan(x) a un développement limité incluant les nombres de Bernoulli, un très joli développement que je vais essayer de trouver sur le Net

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9ve ... imit%C3%A9

[aviateur]

tan(x) n'a pas de logique dans son DL

au contraire tan(x) a un développement limité incluant les nombres de Bernoulli, un très joli développement que je vais essayer de trouver sur le Net

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9ve ... imit%C3%A9

Oui je sais bien et tu peux le donner.
Mais ce que je veux dire, c'est que la plupart des fonction usuelles ont un DL à tout ordre, qui se retrouve vite quelque soit l'ordre. Ce n'est pas le cas de tan(x). Mais pour un DL à l'ordre 5 ou 7 ou même un peu plus
ont peut le calculer à la main très vite aussi. C'est tout.

[LB2]

je suis d'accord avec aviateur, c'est une question de L1 classique que de savoir retrouver le DL5(0) de tan(x) à partir de celui de sin(x) et cos(x)

[aviateur]

Rebonjour
Maintenant si on veut une formule récurrente on peut faire comme ceci:
On pose le coeff de du DL de tan(x). Seuls les coeff impairs sont à calculer:

On démontre assez facilement (je le laisse en exo) que pour n pair, on a la formule
(la somme se restreint aux nombres k impairs)

Ce qui permet de calculer à partir de , les de proche en proche.

[mathelot]

Ecrire un développement limité à l’ordre 7 en 0 de x → tan^2(x)

Merci.

si , alors

on pose

on dérive



d'où et (*)




(**)

En identifiant (*) et (**)

[LB2]

Rebonjour
Maintenant si on veut une formule récurrente on peut faire comme ceci:
On pose le coeff de du DL de tan(x). Seuls les coeff impairs sont à calculer:

On démontre assez facilement (je le laisse en exo) que pour n pair, on a la formule
(la somme se restreint aux nombres k impairs)

Ce qui permet de calculer à partir de , les de proche en proche.

Intéressant!
https://oeis.org/A036279
https://oeis.org/A002430