Développement limité

[pluie2]

Bonjour, je ne parviens pas à trouver un DL d'ordre 2 en 0 de la fonction suivante :

f(x)=(exp(x)-cos(x))/(ln(1+x). Il m'est ensuite demandé d'en déduire que f se prolonge par continuité en 0, que le prolongement par continuité est dérivable en 0 et de déterminer la position de la courbe représentative par rapport à la tangente.

J'ai fait :

exp(x)=1+x+x²/2+o(x²)
cos(x)=1-x²/2+o(x²)
ln(1+x)=x-x²/2+o(x²) donc en remplaçant dans f(x), on trouve : f(x)=(1+x)/(1-0.5x)

mais je ne pense pas que ça soit correcte

merci de m'aider !

[Robic]

Je ne sais pas si tes calculs sont justes, mais ils sont en tout cas inachevés. Je vais supposer que c'est juste. Eh bien à présent tu dois écrire :

et trouver un développement limité de .

Ou bien, si tu as vu la méthode : effectue la division euclidienne de 1+x par 1-x/2 (c'est plus rapide).

[pluie2]

ok je préfère la première méthode merci !
Une fois que j'ai trouvé le développement limité, comment dois je faire pour résoudre le reste de l'exercice ? Dois je calculer la limite en 0 du développement limité?

[jlb]

ok je préfère la première méthode merci !
Une fois que j'ai trouvé le développement limité, comment dois je faire pour résoudre le reste de l'exercice ? Dois je calculer la limite en 0 du développement limité?

salut , déjà la valuation de ln est 1 donc tu dois écrire tes dl à l'ordre trois et ensuite effectuer le dl du quotient.

[pluie2]

d'accord je vais faire ça et donc ensuite dois je calculer la limite en 0 du dl ?

[jlb]

d'accord je vais faire ça et donc ensuite dois je calculer la limite en 0 du dl ?

bah, oui pour vérifier que tu peux prolonger par continuité et après tu écris [f(x)- la limite]/x et tu étudies la limite en 0 et pour finir le signe au voisinage de 0 de f(x)-équation de la tangente en 0.
Et tout cela à partir du dl normalement.

[pluie2]

Après simplification, je trouve un DL :

1-x/2+o(x²) bizarre

voici mes calculs :

(1+x+x²/2+x^3/6-1+x²/2)/(x-x²/2+x^3/3)=(1+x+x²/6)/(1-x/2+x²/3)=(1+x+x²/6)*1/(1-x/2+x²/3)=(1+x+x²/6)(1-x/2+x²/3)= ce que j'ai trouvé

[jlb]

Après simplification, je trouve un DL :

1-x/2+o(x²) bizarre

voici mes calculs :

(1+x+x²/2+x^3/6-1+x²/2)/(x-x²/2+x^3/3)=(1+x+x²/6)/(1-x/2+x²/3)=(1+x+x²/6)*1/(1-x/2+x²/3)=(1+x+x²/6)(1-x/2+x²/3)= ce que j'ai trouvé

Il faut que tu relises ton cours! Il manque des termes dans tes calculs. Avec méthode du dl d'un quotient cela semble plus facile.

[pluie2]

1/(1+x)=1-x+x²-x^3 + o(x^3)

et ensuite j'ai remplacé x par -x/2+x²/3 donc j'obtiens : 1+x/2-x²/3 + (-x²/2+x²/3)² = 1+x/2-x²/3 puisque seul un DL 2 nous intéresse...

[jlb]

1/(1+x)=1-x+x²-x^3 + o(x^3)

et ensuite j'ai remplacé x par -x/2+x²/3 donc j'obtiens : 1+x/2-x²/3 + (-x²/2+x²/3)² = 1+x/2-x²/3 puisque seul un DL 2 nous intéresse...

du coup, revois tes calculs, c'est plutôt 1+3x/2 +7x²/12 le résultat final

[pluie2]

ok je vais refaire et voir si je trouve

J'en profite pour répondre à la suite : en déduire que f se prolonge par continuité en 0 :
lim (1+3/2x+7x²/12) = 1 en 0 donc f(0)=1. f se prolonge donc par continuité en 0.

Est ce suffisant comme explication ?

-le prolongement par continuité est dérivable en 0 et de déterminer la position de la courbe représentative par rapport à la tangente :
f(x)-f(0) / x = 3/2+7x/12 --> 3/2 quand x tend vers 0. Donc dérivable en 0.

- y=f(x)-x ?

je ne sais pas comment faire la dernière
-

[jlb]

ok je vais refaire et voir si je trouve

J'en profite pour répondre à la suite : en déduire que f se prolonge par continuité en 0 :
lim (1+3/2x+7x²/12) = 1 en 0 donc f(0)=1. f se prolonge donc par continuité en 0.

Est ce suffisant comme explication ?

-le prolongement par continuité est dérivable en 0 et de déterminer la position de la courbe représentative par rapport à la tangente :
f(x)-f(0) / x = 3/2+7x/12 --> 3/2 quand x tend vers 0. Donc dérivable en 0.

- y=f(x)-x ?

je ne sais pas comment faire la dernière
-

Comme
f(x)-3x/2-1 = 7x²/12 + o(x²) donc localement cela reste positif, la courbe est au-dessus de
la tangente.

( trouve un cours pour obtenir le dl d'un quotient, c'est + rapide que de passer par l'inverse et si tu as un autre calcul de dl à faire, vérifie sur le site wolfram: le résultat est bon)

[pluie2]

d'accord merci pour votre explication et le site !

Mais ma rédaction me semble incomplète pour la justification de la continuité et dérivabilité ai je raison?