Développement limité

[gally]

Bonjour,
J'ai des soucis pour résoudre le développement limité de f(x)=(sin(x)^3)^(1/3) en 0 à l'ordre 13
Voilà ce que j'ai fait :
On pose x^3=y on a sin y= y - y^3/ 3! + y^5/ 5! + o(y^5)
donc sin x^3=x^3 - x^9/ 3! + x^15 / 5! + o(x^15)
et là mon professeur a marqué (sin(x)^3)^(1/3) = ( x^3 - x^9/ 3! + o(x^13) ) ^ (1/3)
Comment mon professeur est passé de o(x^15) à o(x^13) ? J'ai compris que l'on enlevait le dernier terme car il était négligeable devant x^13 mais on a le droit de passer de 15 à 13 et donc d'enlever un terme comme ça?
ensuite on a f(x)= x^3(1- x^6/6 + o(x^1/3)
là j'utilise (1+x)^m = 1+ mx + (m(m-1) / 2 ) ² fois x + ... etc
et j'ai f(x)= x^3 [(1+(1/3)(-X^6/6 + o(x^10)) - (1/9)(-X^6/6 + o(x^10))² + (10/81)(-X^6/6 + o(x^10))^3 ) ]
J'ai donc :
f(x)= x^3 [(1+(1/3)(-X^6/6 + o(x^10)) - (1/9)(-X^12 /36 + o(x^10)) + (10/81)(-X^18/216 + o(x^10))^3 ) ]
et là je met o(x^13) pour tout garder à part le dernier membre?
Donc j'ai au final
f(x)= x^3 [(1-X^6 /18 + o(x^13)) - (1/9)(-X^12 /36 + o(x^13)) ]
Est-ce bon?
Merci d'avance
Cordialement
Gally

[geegee]

Bonjour,
J'ai des soucis pour résoudre le développement limité de f(x)=(sin(x)^3)^(1/3) en 0 à l'ordre 13
Voilà ce que j'ai fait :
On pose x^3=y on a sin y= y - y^3/ 3! + y^5/ 5! + o(y^5)
donc sin x^3=x^3 - x^9/ 3! + x^15 / 5! + o(x^15)
et là mon professeur a marqué (sin(x)^3)^(1/3) = ( x^3 - x^9/ 3! + o(x^13) ) ^ (1/3)
Comment mon professeur est passé de o(x^15) à o(x^13) ? J'ai compris que l'on enlevait le dernier terme car il était négligeable devant x^13 mais on a le droit de passer de 15 à 13 et donc d'enlever un terme comme ça?
ensuite on a f(x)= x^3(1- x^6/6 + o(x^1/3))
là j'utilise (1+x)^m = 1+ mx + (m(m-1) / 2 ) ² fois x + ... etc
et j'ai f(x)= x^3 [(1+(1/3)(-X^6/6 + o(x^10)) - (1/9)(-X^6/6 + o(x^10))² + (10/81)(-X^6/6 + o(x^10))^3 ) ]
J'ai donc :
f(x)= x^3 [(1+(1/3)(-X^6/6 + o(x^10)) - (1/9)(-X^12 /36 + o(x^10)) + (10/81)(-X^18/216 + o(x^10))^3 ) ]
et là je met o(x^13) pour tout garder à part le dernier membre?
Donc j'ai au final
f(x)= x^3 [(1-X^6 /18 + o(x^13)) - (1/9)(-X^12 /36 + o(x^13)) ]
Est-ce bon?
Merci d'avance
Cordialement
Gally

Bonjour,

sinx=..
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_limit%C3%A9

[gally]

Bonjour,

sinx=..
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_limit%C3%A9

Vous ne répondez pas à mon message...

[MacManus]

Bonjour,
c'est presque ça mais tu as fait une petite erreur.
f(x)=[(x^3)(1 - (x^6)/3! + o(x^10))]^(1/3) = x [1 - (x^6)/3! + o(x^10)]^(1/3)
ensuite tu utilises le fait que (1+x)^m = 1 + mx + [(m(m-1))/2!]x^2 + o(x^2)
on se retrouve au final avec le DL suivant (en 0 et à l'ordre 13) :
f(x)=x - (x^7)/18 - (x^13)/324 + o(x^13)

[gally]

Bonjour,
c'est presque ça mais tu as fait une petite erreur.
f(x)=[(x^3)(1 - (x^6)/3! + o(x^10))]^(1/3) = x [1 - (x^6)/3! + o(x^10)]^(1/3)
ensuite tu utilises le fait que (1+x)^m = 1 + mx + [(m(m-1))/2!]x^2 + o(x^2)
on se retrouve au final avec le DL suivant (en 0 et à l'ordre 13) :
f(x)=x - (x^7)/18 - (x^13)/324 + o(x^13)

Ok j'ai compris merci beaucoup !