Développement limité

[AceVentura]

Bonsoir,

je bloque dans les définitions des développements limités.
Soient n un entier naturel éventuellement nul, I un intervalle de , et . On dit que f admet un lorsqu'il existe avec .

Je ne saisi pas pourquoi il faut prendre "". Le prof écrit c'est soit , soit un intervalle ouvert de .

Aussi, j'ai un petit doute sur l'équivalence suivante (d'un point de vue rigueur) :
f admet un si et seulement si définie par et où admet un .

Il me semble que c'est correct. Mais I est il ouvert ici aussi ? S'il ne l'est pas, faut-il redéfinir ?

Par la suite, on se ramène à l'étude en 0.
Du coup, je ne sais pas ce qu'on appelle partie régulière. Est-ce , ou , , ou encore ? Qu'adoptez-vous comme notation ?

Merci par avance.

[girdav]

Salut,
il faut prendre dans l'intérieur de pour que le petit o aie un sens. Celui-ci cache en effet la notion de limite, donc il faut bien trouver des voisinages de qui restent inclus dans .

[Ben314]

Salut,
En ce qui me concerne, ça me perturberait pas trop d'essayer de trouver un D.L. en 0 d'une fonction définie sur [0,1] : lorsque l'on fait un D.L. à l'ordre 0 ou 1, cela correspond à la notion de limite et de dérivée et on peut bien étudier la continuité et la dérivabilité à droite, alors pourquoi pas le D.L. "à droite"...
On peut même essayer de trouver le D.L. en 0 de f définie sur ]0,1[ en fait ça consiste à commencer par regarder si f est prolongeable par continuité en 0 (ce qui équivaut à l'existence d'un D.L. à l'ordre 0)
Bon, évidement, dans ces cas là, il faut évidement comprendre que la limite sous entendue dans le o(?) désigne une limite a droite en 0.

Pour ton Io, il faut bien comprendre que de se ramener en 0 ne change absolument rien au problème de l'intervalle. Io est un translaté de I donc de même "nature" (ouvert, semi-ouvert, fermé...). Par exemple, si a=4 et I=]3,6] alors Io=]-1,2]...
"Se ramener en 0", au fond, ça sert principalement à économiser de l'encre : c'est plus rapide d'écrire x^n que (x-a)^n. Ca sert aussi du fait que toutes les limites "classiques" a savoir par coeur sont des limites en 0 (ou oo).

Enfin, pour la "partie régulière" déjà, écrire ou ou , ben... je vois aucune différence entre les 3...
Et en plus, pour moi, la "partie régulière", c'est ce qu'il y a avant le o(?) dans le D.L., donc ça serait plutôt ...

[AceVentura]

donc il faut bien trouver des voisinages de qui restent inclus dans .

Pouvez-vous me le préciser ?

En ce qui me concerne, ça me perturberait pas trop d'essayer de trouver un D.L. en 0 d'une fonction définie sur [0,1].

Oui Ben, le prof écrit qu'on peut étendre cette notion à et . Mais j'avoue ne pas bien comprendre.


En fait, lorsque on écrit , on a comme vous le dîtes une notion implicite de limite : avec .

C'est visiblement le fait de faire tendre vers qui peut poser problèmes. Je ne saisi pas toute cette notion de voisinage. :hein:

Peut-être avez-vous un cas "simple" ou il y a un problème ? Pourquoi le fait de prendre I ouvert "enlève" tous les problèmes ?

[Ben314]

Pour donner un exemple trés simple de ce que l'on ne peut pas étudier, il suffit de considérer la fonction .
Son domaine de définition est et, dans ce cas, essayer de calculer une limite quand x tend vers 0, ça veut évidement rien dire du tout, vu que le domaine de définition ne contient aucun réels proche de 0 à part 0.
Donc ici, la question "f est elle dérivable en 0" (qui est équivalente à "f admet-elle un D.L. à l'ordre 1en 0") n'a... aucun sens.
Même la question "f est elle continue en 0" n'a franchement aucun intêret et c'est pas du tout évident qu'elle ait un sens (ça dépend vraiment de ce que l'on prend comme définition des limites...)

Bon, en résumé, les notions de "voisinages", "d'ouverts",... on peut dire que c'est un peu pour expliquer "carré-carré" pourquoi dans le cas d'une telle fonction, il n'y a rien à étudier en 0, bien qu'il fasse parti de l'ensemble de définition.

Si tu veut, à contrario, une fonction comme a pour domaine de définition donc n'est pas définie pour x=1, mais il est (trés) interessant d'étudier la fonction "au voisinage" de 1.

[AceVentura]

Ok. Donc finalement, comme le disait girdav, il faut à un moment trouver des voisinages de a qui restent inclus dans I et donc le fait de prendre I ouvert garantit cela.
En revanche, je ne vois pas s'il est important que ces voisinages soit ouvert ou soit fermé. Je ne pense pas que ça ait une grosse importance, mais j'ai un petit doute.

[Ben314]

La déontologie (et des raisons plus profondes...) font qu'il vaut mieux utiliser des intervalles ouverts comme voisinages.
De plus, si a est un élément d'un intervalle ouvert, alors, forcément il est pas au bord !!!!
Alors que si on veut un "voisinage fermé" de a, on peut prendre un intervalle fermé contenant a, mais on est obligé de préciser que a ne doit pas être le bord de l'intervalle.
Cela implique que le fameux intervalle fermé contenant a contient en fait un... intervalle ouvert contenant a.

[AceVentura]

Ok, merci
Pour ce qui est de l'unicité d'un tel développement, je bug sur la démonstration. On suppose que :
[CENTER] alors [/CENTER]
Mais c'est pas clair pour moi, puisque mais comment ?


Ensuite, il écrit soit le plus petit entier telle que (il existe). Pourquoi ?
J'ai pensé à dire que l'ensemble est non vide par hypothèse par l'absurde et minorée par 0. Qu'en pensez-vous ?

Alors pour x non nul, on a et on passe à la limite en zéro qui donne .

Je suis pas très certain du calcul de limite : on a qui va tendre vers 0 car et on a qui va tendre vers zéro car et que c'est un produit de deux fonctions qui tendent vers zéro ?

[Finrod]

Ok, merci
mais comment ?
[/I]

Oui, et ça implique que les deux sommes sont équivalentes, donc on peut montrer que les ak et les bk sont égaux.

Le plus simple est de partir de et d'appliquer la définition. I.e. la limite de la somme divisé par est nulle.

Par contraposé, si un seul des ak diffère du bk correspondant, la limite en zéro sera plus l'infini.

Ensuite, il écrit soit le plus petit entier telle que (il existe). [I]Pourquoi ?

Parcequ'il raisonne par l'absurde et qu'il suppose donc que tous les ak et bk ne sont pas égaux.

Cela dit, avec ce raisonnement, une récurence serait bien passé aussi.

[AceVentura]

Je croyais faire une erreur de type "a+b" ! Il faut donc bien écrire quelque chose du type :



où sont deux fonctions définies sur I et qui tendent vers 0 lorsque x tend vers a.

avec

Est-ce correct ?

[Finrod]

Si tu le fais en , i lfaut bien entendu remplacer les x puissance k, par des (x-a) puissance k.

Ce que tu notes se note en général . çe ne dépend pas de , donc c'est pas très bien vu de le faire rentrer dans la notation.

Dans ta dernière ligne, il faut que tu rajoutes les qui manquent à gauche.


ps: quand tu parles d'érreur de type a+b, je suppose que tu fais référence au fait que l'on ne somme pas les équivalent en général. Mais on peut toujours sommer les dév limité de même ordre, de même que les équivalents de même ordre.

[AceVentura]

En effet, j'ai fait la démonstration en 0 car le cours fait l'étude des développements limités en 0 (car on la ramène par translation en tout point a de I).

Ce que je note est tiré du cours également ! On a vu qu'en fait avec une fonction ayant une limite nulle en zéro. Donc je me suis dit qu'il serait bon d'écrire (ou :hein: ?!?). Puis après, je me suis qu'il n'y avait aucune raison que pour on avait une fonction qui soit la même que pour . Donc j'en ai appelé une et l'autre . En définitive, j'arrive à l'égalité :
[CENTER][/CENTER]

La notation petit o(1) ne permet pas de voir le calcul de limite, enfin j'ai vu un peu de tout dans les livres et sur internet. Personnellement, je préfère récrire que .

Dans tout cela, je me demande une chose : ou est définie la fonction ? Je pense qu'il n'y pas besoin qu'elle le soit sur I tout entier. Un voisinage ouvert de 0 suffit. Mais j'en suis pas certain.

Mais on peut toujours sommer les dév limité de même ordre, de même que les équivalents de même ordre.

C'est vrai. C'est un théorème dans mon cours qui vient après l'unicité du développement limité. J'en ai d'ailleurs fait un blocage.
Le théorème énonce que si admettent des alors aussi.

Preuve :
je dit que et . Et la je me dis, où vit x ?! f est définit sur I, g aussi ? Est-ce nécessaire ? :hein:
Pour la suite, on écrit . Je renomme qui est bien un polynôme de degré au plus n et je (re)démontre que : on a .

Mis à part le problème de définition des deux fonctions, c'est ok !

Pour Ben314 :
un truc m'a échappé dans ce qu'on a dit avant ; pourquoi dit-tu qu'il est très intéressant d'étudier la fonction définie par "au voisinage" de 1 ?

[Finrod]

Tu peut tout à fait remplacer les o(1) par des

Mais il vaut mieux écrire, pourune fonction f : o(f(x))=

soit par exemple

Car la fonction est une fonction de x et pas de .

(bon évidmment, tu peux toujours dire que tu compose avec la fonction racine nème mais c'est un peu tordu, et si x<0 et n pair, ça marche pas.


Pour ta question, la fonction est bien définit oui.

En fait si

cela signifie implicitement

[Ben314]

Oui : en fait, petit à petit, il faut s'habituer aux règles de calculs "un peu bizares" sur les .
Par exemple, est-ce que tu comprend pourquoi, au voisinage de 0, on a :


(et ce n'est pas du tout égal à 0 !!!)


Au début, quand on n'est pas sûr de son coup, il est peut être préférable d'écrire comme tu le fait plutôt que ainsi que de mettre des indices aux différentes fonctions qui apparaissent...

Edit : n'ayant pas vu qu'il y avait une deuxième page sur le "thread", je répond... avec trois trains de retard...

[Ben314]

Concernant la fonction , elle est définie, continue, dérivable, 2 fois dérivable, etc, etc sur ]1,+oo[
Comme l'intervalle de définition est ouvert (des deux cotés), les premières questions interessantes qui viennent à l'esprit concernent le comportement de f au "bord" de son domaine de définition, i.e. lorsque x->1 et lorsque x->oo : limites ? comportement assymptotique ? etc etc.
En 1, cela revient à se poser la question : "peut on prolonger f par continuité au point 1 ?" puis, si la réponse est oui, "la fonction prolongée est elle dérivable en 1 ?" si oui, "la dérivée est elle continue en 1 ?"...

[AceVentura]

Ok Ben, c'est vrai qu'il faut vite que je m'habitue à cette notation, mais je préfère dans un premier temps bien comprendre ce qu'il se passe avec les fonctions "" !
Me confirmes-tu que ce sont des fonctions définies sur I ?
f étant une fonction de l'intervalle ouvert I à valeurs réelles, est-ce également le cas de ?