Développement Limité

[Wims]

Bonjour tout le monde,
Je suis nouveau sur ce forum et j'espère trouver mon bonheur avec votre solidarité

J'ai un petit problème pour quelques développements limités, j'ai certains doutes...

1) Faire le développement limité de exp(X) / [ (exp(X) - 1).ln(1+X) ]

Le problème que j'ai pour ce développement limité est le suivant:
Pour le DL d'un quotient f/g, il faut que lim g =! 0. Ou dans le cas contraire, si g tend vers 0, f doit tendre vers 0 également. Or ce n'est pas le cas... Est-ce que je me trompes ?
Je pensais soit faire le DL du dénominateur et du numérateur mais il y a ce petit détails qui me bloque, soit faire le DL généralisé mais je suis pas sur de comprendre l'idée..

2) faire le produit fg avec f(x)=1/x^2 + 2/x + 1 + o(1) et g(x)=1/x - 1 + x + o(x)

La je pensais faire le DL d'un produit comme d'habitude. Comme l'ordre des deux DL est différente, il faut faire le produit des DL mais à l'ordre k=min(0+val(f) ; 1+val(g)) mais valuation(f)=-2 et val(g)=-1
Donc il faut que je tronque à l'ordre -2 ? Je ne comprends pas non plus...


Merci d'avance :)

[Ben314]

Salut,
Effectivement, tu ne te trompe pas : cette fonction n'a pas de D.L. en 0 (est ce bien en 0 que l'on te demande de calculer le D.L. ?)
Si tu veut faire un "D.L. généralisé" (j'appelerais plutôt ça un développement assymptotique), je te conseillerais de partir des D.L. de g(x)=(exp(x)-1)/x et de h(x)=(ln(1+x))/x qui ont le bon gout de commencer par une "vrai" constante non nulle.
Tu fait ensuite le produit pour avoir le D.L. de g(x).h(x), puis tu calcule le D.L. de exp(x)/[g(x).h(x)] (ici, il n'y a pas de problèmes de valuations)
Enfin, tu vérifie qu'à un détail prés (lequel ?) c'est bien ce que l'on te demande que tu as calculé...

[Wims]

Merci pour cette réponse rapide pour la première question,

En faite ce qu'on me demande exactement c'est cela :
"Faites un DL1(0) de : f(x)=... , expliquer votre démarche "

Voilà en ce qui concerne la première question... Est-ce que cette consigne implique un "La méthode c'est faire un DL asymptotique" ?

(j'en profite pour essayer ce que vous m'avez conseillé)

[Wims]

Bon me revoilà avec mes résultats, pouvez-vous me dire s'ils sont bons ?

1) e^x = 1+x +x^2/2+x^3/6 + o(x^3)
e^x -1 = x + x^2/2 +o(x^2)
ln(x+1)= x-x^2/2+o(x^2)

donc si on fait x^2.f(x) =1+ x + x^2/2 + x^3/6 + o(x^3)
donc je trouve f(x)=1/x^2 + 1/x +1/2+x/6 +o(x)

mais je penses que j'ai fais une petite erreur...

2) j'ai trouvé : 1/x^3+ 1/x^2 + o(x^-2) est-ce bon ?

Si on voulait avoir un DL de précision o(x) on aurait du avoir un DL à l'ordre 3 pour f et 2 pour g. Correct ?


Encore une fois merci pour votre aide :)

[Ben314]

Salut,
Pour la 1) maple [j'ai la flemme et j'suis nul en calculs...] trouve :
x^(-2) + x^(-1) + 1/4 + 1/24*x - 1/72*x^2 + 1/120*x^3 - 1/144*x^4...

Pour la 2) tu peut aller un peu plus loin dans le D.L car 1/x^2.o(x) et 1/x.o(1) sont tout les deux des o(1/x) : tu peut écrire que le produit vaut
1/x^3 + 1/x^2 + o(1/x) ce qui est plus précis.