Développement limité et suite de Fibonacci

[bneay]

Salut Tout le monde, voilà un joli énoncé:
trouver le développement limité de: au voisinage de 0 à l'ordre n par trois méthodes différentes.

(à savoir ce dl égale à: la somme des (k varie de 0 à n)

[bneay]

les sont les termes de la suite de Fibonacci.

[Ben314]

Salut,
En vrac, les méthodes qui me viennent à l'esprit, c'est :
1) On effectue la division euclidienne de 1 par 1-X-X² (en notant Rn le rese à l'ordre n... etc)
2) On pose U=X+X², un utilise le D.L. connu 1/(1-U) puis on développe avec le binôme de newton les (X+X²)^n
3) On factorise 1-X-X²=(X-a)(X-b) puis on décompose la fraction rationelle 1/(1-X-X²) = ?/(X-a) + ?/(X-b) = ?/(1-X/a) + ?/(1-x/b) et on utilise 2 fois le D.L. connu de 1/(1-U)
4) On sait que le D.L. à tout ordre existe (car la fonction est de classe C-infini) et pour le trouver, on écrit que le D.L. multiplié par (1-X-X^2) doit faire 1+epsilon.
5) On regarde s'il n'y aurait pas moyen d'exprimer simplement la dérivée n-ième de la fonction. Si oui on utilise ensuite la formule de taylors.

[Maxmau]

Bj
A l'envers
On calcule la somme de la série entière de terme général Fk x^k
Pour ça on remplace Fk par Fk-1 + Fk-2. 2 ripages d'indices et on voit que la somme de cette série n'est autre que 1/(1-x-x²)

A l'endroit (comme la 4/ de Ben314)
On développe 1/(1-x-x²) en série entière. En identifiant le produit de cette série par (1-x-x²) à 1, on trouve la relation de récurrence entre coeff qui montre que ces coeff sont les termes de la suite Fibonacci.