Développement limite dans C

[Mikihisa]

Bonjour,

Voilà j'entame (pas trop tôt....) le calul diff.
Un exercice m'est proposé:

Soit f : R^2 -> C qui admet un DL en (0,0), en terme de variable réel (x,y).
Montrer que "f admet un DL en z et z-barre" (l'énoncer exacte demande de prouver l'existence d'une famille de complexe a_ij tels que f(x,y) s'écrit comme un polynome en Z et Z-barre + O(|z|^{n+1}).

Mon idée était de partir d'un DL en x,y et d'essayer de le ramener a du Z/Zbarre mais ça paraît assez irréalisable, d'ailleurs je ne même pas sur de bien saisir cette histoire de DL en x,y

Que signifie l'existence d'un DL pour f défini sur R^2 ? L'existence d'un polynome en 2 variable tel que f(x,y) = P(x,y) + O(||(x,y)||^n) ?

Ah t-on une "formule de Taylor" généralise en calcul diff ?

[zygomatique]

salut

il suffit de remplacer x par (z + z*)/2 et y par (z - z*)/2i ....

où z* désigne le conjugué de z

et de se rappeler que |Re(z)| < |z| et |Im(z)| < |z|

....

[Mikihisa]

Awi évidement, j'suis vraiment bête....

Merci, c'est juste ce qu'il me manquait

[Mikihisa]

Je up ce poste, enfait je ne saisi pas très bien.

Fin je pense que si f = f1 + i.f2 bon on fait le DL de f1, celuis de f2 aucun problème.

Comment exprimer les coefficient du DL en Z,Z* a partir des derive partielles de f (suivant z et z* avec la fameuse formule df/dz = (1/2)(df/dx - idf/dy) et df/dz*) ?

Pour montrer que des coef existent ok, mais pour les calculer oO

[zygomatique]

qu'est-ce que formellement le dl de ?

et effectivement f(x, y) = g(x, y) + ih(x, y) ....

[Mikihisa]

Le DL de la fonction f : (x,y) -> x+iy ?
Je ne vois pas ou vous voulez en venir, ici il s'agit juste d'écrire f(x,y) = z+h(z) avec h(z) = 0 qui est O(|z|^n) (quelque soit n d'ailleurs)

[zygomatique]

pas le dl de f(x, y) = z !!!

le dl général de f : R^2 --> C

[Mikihisa]

Ah pardon xD

Bah c'est un polynome en x,y plus un reste majoré par par ||(x,y)^n||


Non ? Les coefficient apq et bpq correspondent aux DL de g(x,y) et h(x,y) dont vous parliez

Je crois aussi que ce coefficient on les connais si f admet des dericee partielle :
a_pq est la somme des dérivés partiel d'ordre total p+q (de Re(f) évaluée en (0,0), Im(f) pour b) affectées du coefficient 1/(p+q)!
Non ?

[Mikihisa]

En remplaçant x et y par (z+z*)/2 et (z-z*)/2i on obtient l'existence du DL en z,z* mais je ne vois pas comment calculer les coefficient de ce denier, de manière brutal ça semble impossible humainement

[Mikihisa]

Enfin je pense que des coefficient sont égale a 1/p!q! d^{p+q}/dz^p.dz*^q f(0,0)

Mais impossible de le montrer

[Mikihisa]

Bon voilà une idée

Considérant un polynome P(x,y) de coef a_pq
On peut donc le réécrire comme un polynome en zz* affecte de nouveau coefficient.

Le coefficient "constant" par exemple est donne par P(0,0), il ne change pas.
Alors pour les autre je le disait que on pourrais "dérivé" ce polynome dans le bon sens pour obtenir le coefficient qui nous intéresse.

On obtient la formule pour les polynome.
Enfait on fait pareil dans le cas ou f admet un DL.