Je souhaiterai une correction de mon travaille et une explication de la correction qui se trouve en base du post
Ici mon calcul.
Voici la correction donnée.
Ce qui donne
Donc
A bientôt
Développement limité cos^4(x) en 0 à l'ordre 6
3 messages
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développement limité cos^4(x) en 0 à l'ordre 6
par novicemaths » 04 Juin 2021, 00:30
Bonjour
Je souhaiterai une correction de mon travaille et une explication de la correction qui se trouve en base du post
Ici mon calcul.
=cos^4(x))
=-4sin(x).cos^3(x))
=12sin^2(x).cos^2(x)-4cos^4(x))
=40sin(x)cos^3(x)-24sin^3(x)cos(x))
=24sin^4(x)+ 40cos^4(x) - 192 sin^2(x).cos^2(x))
=480sin(x)^3(x)cos(x)-544sin^3(x)cos(x))
=64 sin^4(x) - 192sin^2(x)cos^2(x))
=cos^4(0)=1)
=-4sin(0).cos^3(0)=0)
=12sin^2(0).cos^2(0)-4cos^4(0)=-4)
=40sin(0)cos^3(0)-24sin^3(0)cos(0)=0)
=24sin^4(0)+ 40cos^4(0) - 192 sin^2(0).cos^2(0)=40)
=480sin(0)^3(0)cos(0)-544sin^3(0)cos(0)=)
=64 sin^4(0) - 192sin^2(0)cos^2(0)=)
=1 -\frac{4x^2}{2!}+ \frac{40x^4}{4!} + o(x^6) =1-\frac{16x^2}{2}+\frac{2560000}{24})
Voici la correction donnée.
 =1 -\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} +\frac{x^6}{6!} +o(x^6)= 1 -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24} -\frac{x^6}{720} + o(x^6))
 =1 -\frac{x^4}{4} -2 (\frac{x^2}{2}) - 2 (\frac{x^4}{24}) - 2(\frac{x^6}{720}) + 2 (\frac{-x^2}{2})(\frac{x^4}{24}) + o(x^6))
Ce qui donne=1-x^2 +\frac{1}{3}x^4 -\frac{2}{45} + o(x^6))
Donc= 1 -x^4+2(-x^2) + 2(-x^2)(\frac{1}{3}x^4) + 2(\frac{1}{3}x^4)+o(x^6) = 1-2x^2 + \frac{5}{3}x^4 - \frac{34}{45}x^6+ o(x^6))
A bientôt
Je souhaiterai une correction de mon travaille et une explication de la correction qui se trouve en base du post
Ici mon calcul.
Voici la correction donnée.
Ce qui donne
Donc
A bientôt
Re: développement limité cos^4(x) en 0 à l'ordre 6
par Vassillia » 04 Juin 2021, 10:17
Bonjour Novicemaths,
Bonne nouvelle, tes 4 premières dérivées sont correctes (la 5ème est fausse donc la 6ème aussi)
Donc ton calcul du développement limité jusqu'à l'ordre 4 est correct
=1-4x^2/2!+40x^4/4!+o(x^4))
mais ensuite pourquoi avoir calculé 
et 
?
N'oublions pas que^2 \neq 4x^2)
Ta correction est fausse aussi, à la dernière ligne tu calcules)
et pas )
mais l'idée générale est de se servir d'une formule connue, le développement limité de )
que l'on élève au carré comme on le fait d'habitude avec ^2)
.
C'est un peu subtil car comme on veut s’arrêter à l'ordre 6, on n'a pas besoin de calculer les puissances plus grandes que
Comme la dernière fois sur le déterminant, pour gagner un peu d'autonomie, tu peux vérifier tes dérivées ici https://www.dcode.fr/derivee et tes développement limités ici https://www.dcode.fr/developpement-limite.
Bonne nouvelle, tes 4 premières dérivées sont correctes (la 5ème est fausse donc la 6ème aussi)
Donc ton calcul du développement limité jusqu'à l'ordre 4 est correct
N'oublions pas que
Ta correction est fausse aussi, à la dernière ligne tu calcules
C'est un peu subtil car comme on veut s’arrêter à l'ordre 6, on n'a pas besoin de calculer les puissances plus grandes que
Comme la dernière fois sur le déterminant, pour gagner un peu d'autonomie, tu peux vérifier tes dérivées ici https://www.dcode.fr/derivee et tes développement limités ici https://www.dcode.fr/developpement-limite.
Re: développement limité cos^4(x) en 0 à l'ordre 6
par mathelot » 04 Juin 2021, 21:53
bonsoir,
une variante
on sait que=\frac{cos(2x)+1}{2})
=(1-cos^2x)(1+cos^2x))
)(3+cos(2x)))
)(3+1-4x^2/2 +16x^4/24-64x^6/720)+o(x^6))
(4-2x^2+2/3x^4-4/45x^6)+o(x^6))
(2-x^2+1/3x^4-2/45x^6)+o(x^6))
(2-x^2+1/3x^4-2/45x^6)+o(x^6))
=+o(x^6))
d'où
=1-2x^2+5/3x^4-34/45x^6 +o(x^6))
une variante
on sait que
=
d'où
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