Déterminent

[majin]

Bonjour, soit matrice carré d'ordre n, tel que les termes diagonaux sont impair, et les autres termes sont soit égaux à 2 ou 0, on doit montrer que est un entier impair.

J'ai pensé à utiliser la récurrence: on vérifie facilement le cas n=2, soit une matrice d'ordre n+1, à l'aide des opérations élémentaires sur la première colonne on transforme la matrice A en une matrice dont la première colonne est nul sauf le premier terme qui est impair, donc et d'après l'hypothèse de récurrence est impair d'ou le résultat

Est-ce que j'ai le droit d'écrire ce qui est en gras? Et sinon d'autres propositions?

Merci.

[wserdx]

As-tu pensé à projeter sur ?

[wserdx]

Oups, désolé, ta méthode par récurrence me semble aussi valable. Il faut seulement que tu t'assures que tu peux bien trouver ces transformations élémentaires, ce qui est bien le cas.

[majin]

Oups, désolé, ta méthode par récurrence me semble aussi valable. Il faut seulement que tu t'assures que tu peux bien trouver ces transformations élémentaires, ce qui est bien le cas.

Justement c'est ça le problème, j'arrive pas à trouver ces transformations.

[wserdx]

Il faut en fait considérer comme suggéré plus haut le cas plus général des matrices dont les coefficients diagonaux sont impairs et les autres pairs. Appelons cet ensemble .
Notons et les premiers coefficients des lignes et . Multiplie la ligne par (qui est impair) puis retranche à cette nouvelle ligne la ligne multipliée par (qui est pair).
Je t'invite à vérifier que ces transformations ne changent pas la parité du déterminant, et restent dans l'ensemble . Par ces transformations, on annule tous les coefficients de la première colonne, sauf le premier. Tu peux donc appliquer ton hypothèse de récurrence.