Dérivé

[Rockleader]

Bonjour, je cherche à démontrer en utilisant la définition de la dérivé en un point que

(ln(1+u))/u tend vers 1 quand u tend vers 0.


Le définition d'une dérivé c'est

f'(X0) = lim quand u tend vers 0 de [f(X0 + U) - f(X0) ]/ U

Donc, dans notre cas x0 vaut 1 ? Mais à part ça je ne vois pas comment on démontre le reste...surement tout bête mais je vois pas...

[cuati]

Bonjour, je cherche à démontrer en utilisant la définition de la dérivé en un point que

(ln(1+u))/u tend vers 1 quand u tend vers 0.


Le définition d'une dérivé c'est

f'(X0) = lim quand u tend vers 0 de [f(X0 + U) - f(X0) ]/ U

Donc, dans notre cas x0 vaut 1 ? Mais à part ça je ne vois pas comment on démontre le reste...surement tout bête mais je vois pas...

Bah alors :lol3:
La fonction c'est ln(1+x) et x0 c'est 0...

C'est la soirée des limites par taux d’accroissements on dirait...

[Rockleader]

Bah alors :lol3:
La fonction c'est ln(1+x) et x0 c'est 0...

C'est la soirée des limites par taux d’accroissements on dirait...

Oui, jusque là j'y suis arrivé.

Mais c'est après pour montrer que ça tend vers 1 quand u tend vers 0 que je plante

[Rockleader]

EN plus après j'ai d'autre limite à montrer qui me paraissent bizarre...

Montrer que quand n tend vers oo, alors n*ln(1+x/n) tend vers x

J'aurais plutot dis que ça tendais vers 0...sachant que ça fairait oo*ln(1) soit oo*0 = 0...et non x...



Après il me faudrait montrer que (1+x/n)^n tend vers e^x quand n tend vers oo...moi j'aurais dis que ça tendais vers 1^oo soit 1... et non e^x

Donc là je suis dans le flou complet...

[Rockleader]

Up !

Désolé j'ai vraiment besoin d'une réponse avant demain matin :)

EDIT:

Pour la première j'ai compris, ln(x=1)' = 1/x=1 = 1 d'où la limite pour la première question.

Les autres en revanche me semblent toujours tout autant farfelus !

[Rockleader]

Je n'ai toujours pas trouvé pour la 2, en revanche si j'admet que

lim lorsque n tend vers oo est X


Alors je devrais pouvoir dire en élevant e tout avec l'exponentielle que




soit

tend vers

Mais je tombe pas vraiment sur ce que je cherche: help


EDIT: EN fait j'avais oublier que n * ln(a) pouvait se transformer en ln(a)^n

DU coup je trouve bien ce qu'il faut pour la troisième, mais en adettant le résultat de la seconde limite à trouver sur laquelle je bloque encore !

[Nightmare]

Tu as écrit tout ce qu'il nous fallait :

Si f est dérivable en a, alors lim 1/h (f(a+h)-f(a)=f'(a).

En prenant f(x)=ln(1+x) => f'(x)=1/(1+x) et a=0, on obtient que lim 1/h (ln(1+h))=1/(1+0)=1.

Pour nln(1+x/n), on se ramène à la limite précédente en posant h=x/n, alors la limite quand n tend vers +oo de nln(1+x/n) est égal à la limite quand h tend vers 0 de x/h * ln(1+h) qui vaut x*1=x d'après le résultat précédent.

Donc ta limite vaut exp(x).

[Nightmare]

Attention au passage, 1^(oo) est une forme indéterminée et ne vaut pas toujours 1.

[Rockleader]

Attention au passage, 1^(oo) est une forme indéterminée et ne vaut pas toujours 1.

Ah bon et pourquoi ? (question hors sujet pas prioritaire).


Je récapitule parce que j'ai du vous perdre un peu dans tout ça, la seule limite qui me pose encore problème c'est

n*ln(1+x/n) = x quand n tend vers oo

Là je ne peux pas utiliser la méthode de la question une, vu que la définition n’est applicable que pour n tend vers 0 !

[Nightmare]

Relis mon post précédent au sujet de nln(1+x/n). Effectivement, ici n tend vers +oo, mais de toute manière tel quel ce n'est pas la forme précédente. Par contre, en posant h=x/n, alors h tend vers 0 et on se ramène à la forme précédente.

Concernant 1^(oo), tu as justement en face de toi un contre-exemple du fait que ça ne tende pas toujours vers 1.

(1+x/n) tend vers 1, n vers +oo et pourtant (1+x/n)^n tend vers exp(x) et non 1.

[Rockleader]

Ah oui je n'avais pas vu la chose sous cet angle là. Donc en posant h=x/n quand n tend vers oo.


On a n * ln(1+h) avec h qui tend vers 0.

Donc

ln'(1)=n* [ln(1+h) - ln(1)] / h

Je suis pas sur de cette forme

qui plus est je ne comprends pas cette partie.

la limite quand n tend vers +oo de nln(1+x/n) est égal à la limite quand h tend vers 0 de x/h * ln(1+h)

pourquoi de x/h ?

[Nightmare]

On a posé h=x/n, on change de variable, il ne doit pas y avoir de n qui reste. h=x/n <=> n=x/h.

[Rockleader]

On a posé h=x/n, on change de variable, il ne doit pas y avoir de n qui reste. h=x/n n=x/h.

Ah d'accord merci !

Par contre pourquoi ça fait x*1 à la sortie


parce que x/h ln(1+h) sa va faire du ln 1 qui vaut 0.

[Nightmare]

On sait que 1/h * ln(1+h) tend vers 1.

x/h * ln(1+h) c'est x * 1/h * ln(1+h) qui tend donc vers x*1 quand h tend vers 0, c'est à dire x.

[Rockleader]

On sait que 1/h * ln(1+h) tend vers 1.

x/h * ln(1+h) c'est x * 1/h * ln(1+h) qui tend donc vers x*1 quand h tend vers 0, c'est à dire x.

Hum, ok j'ai enfin compris en intégralité, merci beaucoup.

[Nightmare]

Relis demain à tête reposée, ça ne fera pas de mal.

Bonne nuit.

[Rockleader]

Relis demain à tête reposée, ça ne fera pas de mal.

Bonne nuit.

Effectivement c'est ce que je comptais faire, et j'aurais d'ailleurs quelques interrogations...j'ai répondu de manière à faire ce que voulait le sujet, et je suis convaincu que ce que j'ai écrit est tout à fait logique.

Par exemple en utilisant la méthode décrite plus haut, on trouve que la fonction n*ln(1+x/n) tend vers x quand n tend vers oo.

C'est juste je m'en suis encore re-convaincu en refaisant les calculs.


Mais pourquoi ne pourrait on pas raisonner de cette manière:

quand n tend vers oo x/n tend vers 0 donc ln(1+x/n) tend vers ln(1) or ln(1) = 0

Donc on aurait quelque chose du style + oo * 0.
Le coefficient du ln est plus faible que celui de n donc je me doute bien que la limite ne peut pas tout simplement être 0, mais sera comprise entre 0 et + oo, mais peut on dire pour autant qu'une analyse de la sorte est fausse en soi ?