Densité des polynômes dans l'ens. des fonctions holomorphes

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schelde
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Densité des polynômes dans l'ens. des fonctions holomorphes

par schelde » 21 Juin 2021, 21:44

Bonjour,

On note le disque unité ouvert de , les fonctions holomorphes et les fonctions polynomiales .

Je cherche à montrer que est dense dans pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.

Pour cela, on sait que si . En d'autres termes, si l'on pose , converge vers uniformément sur tout compact de .

J'ai donc "intuitivement" essayé de poser , où désigne "abusivement" le supremum du module sur (dans les deux cas, ce sup existe, car les fonctions sont bornées par 1 en module).

J'essaie ensuite de montrer que tend vers uniformément sur tout compact :

Soit un compact de et soit la norme "sup" sur .
.
On sait que quand .
Mais pour le second terme, j'ai un peu plus de mal à justifier la convergence vers 0, que je vois pourtant intuitivement...

On a
Ensuite, intuitivement, j'ai envie de dire que quand , mais je ne vois pas comment le justifier...

Voici ce que j'ai pour le moment :

Soit .
Par définition de la borne supérieure, il existe tel que .
Comme , il existe tel que, pour tout ,

ce qui implique


Il faut ensuite montrer "l'autre sens", à savoir que pour assez grand, on a aussi .

Et là, je suis bloqué...

Pourriez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance :)



 

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