Dénombrement des décompositions en sommes directes

[Landstockman]

Bonjour,

Je cherche à déterminer le nombre façons de décomposer un K-espace vectoriel de dimension q en une somme directe de deux sous-espaces (K est de cardinal p). Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci

[Ben314]

Salut,

Si K est de cardinal et que E est un K e.v. de dimension alors pour fabriquer une base de E, il faut commencer par choisir un vecteur non nul, puis un vecteur non colinéaire au premier puis un vecteur non combinaison linéaire des deux premiers, etc...
Bref, le nombre de base de E c'est

Ensuite, si tu fixe un et que tu cherche le nombre de façon d'écrire avec (donc forcément ) il suffit de compter de deux façons différentes le nombre de base de E.
- D'un coté, le nombre de base de E est évidement égal à .
- D'un autre coté, pour choisir une base de E, on peut commencer par choisir une écriture , puis une base de et une base de pour prendre au final la concaténation de et (toute base de E est obtenue de manière unique par ce procédé). Donc le nombre de base de E est aussi égal à

Bilan : (qui doit pas mal se simplifier avec des polynômes cyclotomiques mais j'ai pas regardé...)
Et sauf erreur, le truc que tu cherche c'est (si tu compte comme différentes les écritures et )

[Landstockman]

Merci bien !
Ne pensez-vous pas qu'on peut simplifier considérablement la solution avec des quotients de groupes ?

[Archytas]

Salut,

Dans l'idée des quotients tu peux penser à ça :
Soit ton espace vectoriel et une décomposition en somme directe. Soit soit il contient une droite. Grâce à cette considération en notant le nombre de décompositions que tu cherches tu as une formule récurrente pour :

Avec la convention . Le est le cardinal de , l'ensemble des droites de et le de la décomposition triviale . Et lorsqu'on a une droite fixée l'ensemble des décompositions telles que est en bijection avec celles de .
Est-ce à cela que tu pensais ?

On a une formule récurrente mais c'est pas sûr qu'on puisse la résoudre facilement par contre. La formule de Ben sera peut-être plus pratique à manipuler, à toi de voir.

À voir si ça marche, il est tard j'ai peut-être les neurones qui dysfonctionnent .

Bonne nuit.

[Ben314]

Salut,

...

Sauf erreur, ça déconne : là ton calcul correspond à dire que tu commence par choisir une droite vectorielle de E (=> possibilité) puis que tu choisi une décomposition en somme directe F1+F2 de l'e.v. quotient F=E/. Certes, en procédant de la sorte, tu as une décomposition, mais il y a plusieurs façon d'obtenir la même décomposition vu que partant de E=E1+E2, il y a plusieurs façons de choisir la droite vectorielle de E1.
Il faut donc diviser ton truc par le nombre de façons de choisir dans E1 modulo de fixer d'avance la dimension de E1 pour que ce "nombre de façon" ne dépende pas de E1.
Et au final, ben tu doit retomber super rapidement sur la même formule que moi au dessus (qui est très simple pour une dimension d de E1 fixée, mais sans doute pas très simple si on somme sur tout les d)

Sinon, en regardant comment ça se simplifie, j’obtiens que où est le -ième polynôme cyclotomique et où le produit s'effectue sur les tels que le reste de la division de par soit strictement inférieur au reste de la division de par .
Pas sûr qu'on puisse exprimer plus simplement l'ensemble des sur lequel on fait le produit et encore moins sûr qu'on puisse sommer facilement les ...

[Archytas]

Bien vu ! J'avais pas fait gaffe à ce détail ^^.