Défilinéaire

[yos]

Soit non constante, vérifiant f(AB)=f(A)f(B) pour tout couple (A,B) de matrices.
Démontrer qu'à l'instar du déterminant, est formé des matrices non inversibles.

[Joker62]

Hello

On doit montrer

On commence par le sens indirect :
Et on procède par contraposée.
Celà donc revient à montrer que

On a clairement
Or en prenant tel que on a

Ce qui démontre le sens réciproque.

Sens Direct :

On suppose qu'il existe tel que

Alors Absurde !

Conclusion :

Edit : Rajout de la fin de preuve. (enfin en espérant qu'elle soit bonne :S)

[nuage]

Salut,
Une piste :
essayer de montrer que .
ensuite est presque suffisant.

[aviateurpilot]

je pense que ce que tu as fait joker62 est la solution,
le probleme ici est de montrer que inclu dans l'ensemble des matrice non inversible.

[Joker62]

Sens Direct :
Par contraposée toujours



On pose
On prend alors tel que

On a alors
Reste juste alors à montrer que 1 à comme seul antécédent la matrice identité.

[aviateurpilot]

Sens Direct :
Par contraposée toujours



On pose
On prend alors tel que

On a alors
Reste juste alors à montrer que 1 à comme seul antécédent la matrice identité.

qui vous a dit qu'il exite une marice dont l'image est

[Joker62]

En effet :)
On va dire que j'le sens :p

Je cherche d'un autre côté alors :)

Edit : je fais appel à l'axiome du choix lol :D

[Joker62]

On a montrer que les zéros de la fonction f contiennent les matrices non inversibles.
On a aussi montrer que f(I) = 1.

On suppose qu'il existe tel que

Alors Absurde !

Conclusion :

[alben]

On a montrer que les zéros de la fonction f contiennent les matrices non inversibles.
On a aussi montrer que f(I) = 1.

On suppose qu'il existe tel que

Alors Absurde !

Conclusion :

Bonjour, tu as passé une bonne nuit Joker ?
Tu n'as finalement démontré que dans un seul sens (en utilisant le fait que K est intègre). Il reste à prouver que toute matrice non inversible a une image nulle. Ou que si f(A)#0 alors A est inversible.

[Joker62]

Lol t'en fais po pour ma nuit ! je l'ai pas passée à faire le défi :D
J'suis juste un peu insomniaque sur les bords :)

Pour la démo, j'me doutais bien qu'il y avait un problème :D
C'est reparti alors, j'vais continuer d'réfléchir :)

[BiZi]

A est semblable à J, matrice avec des 0 partout sauf sur la diagonale avec que des 1 et ca s'arrête au niveau de la ligne rg A. Si A n'est pas inversible, A est de rangOn a alors J^n=0 et f(J^n)=f(J)^n=f(0)=0 et f(J)=0.

Si f(A) différent de 0:montrons que nécessairement f(J) différent de 0.

A est semblable à J: donc f(A)=f(J), donc A est bien inversible.

[yos]

Bizi : semblable ou équivalente?
Plus gênant : .

[alben]

A est semblable à J, matrice avec des 0 partout sauf sur la diagonale avec que des 1 et ca s'arrête au niveau de la ligne rg A. Si A n'est pas inversible, A est de rang<n.
On a alors J^n=0

Non je dirais que J²=J et donc F(J²)=F(J)² et par là F(J)=1 ou F(J)=0

[BiZi]

Bizi : semblable ou équivalente?
Plus gênant : .

Oui, j'ai pris mes désirs pour des réalités. Reprenons: on prend J la matrice avec des 1 partout sur les rg A premières diagonales, puis des 0 partout. Cette fois, J est bien nilpotente, sauf pour rg A=n soit pour A inversible, et de même rang que A donc équivalente à A.
A et J équivalentes donc il existe P, Q appartenant à GLn(K) tels que

A=PJQ et ainsi f(A)=f(P)f(J)f(Q).

On a f(A) non nul donc f(J) non nul. Si J était nilpotente on aurait f(J)=0. Donc J n'est pas nilpotente et donc rg A=n et A est inversible.

C'est bon cette fois?

[alben]

C'est bon cette fois?

J comme tu l'as définie n'est pas nilpotente, elle est idempotente !

[yos]

Je crois que tout a été dit. J'ai fait pareil. Je résume :
1) f(0)=0 et sinon f est constante.
2) f(N)=0 si N nilpotente.
3) Si A non inversible A=PNQ où N nilpotente, donc f(A)=0.
4) Si A inversible donc .

[BiZi]

J comme tu l'as définie n'est pas nilpotente, elle est idempotente !

Je veux dire par exemple pour n=10 et rg A=9,

0111111111
0011111111
0001111111
0000111111
0000011111
0000001111
0000000111
0000000011
0000000001
0000000000

[alben]

@BiZi
Désolé j'avais mal lu.

[B_J]

Salut;
du meme style :
soit une application continue telle que :

on suppose que est inversible
Montrer qu'il existe tq :