Convergence monotone

[Ncdk]

Bonjour

Soit muni de la mesure de dénombrement et . Calculer :

Réponse :

est continue pour tout , alors f est mesurable. Du plus est positif pour tout .

Alors f est une fonction mesurable de

Mon but est d'appliquer le théorème de convergence monotone, donc je cherche une suite de fonctions , dont est croissante et mesurable.

Comme f est mesurable et positive alors il existe une suite croissante de fonctions étagées qui converge simplement vers f.

Je me suis pas trop foulé j'ai prit

c'est une fonction étagée qui converge vers f donc c'est ce que je cherchais.

Alors

De plus est une somme de termes positifs ou nuls, donc croissante.

On peut appliquer le théorème de convergence monotone et on a :



Je bloque ici car

Et je vois absolument comment calculer ce machin ci-dessus... merci d'avance

[MouLou]

Salut. A part l argument de continuité pour montrer que f est mesurable je suis d accord. Après pour le calcul t as vraiment juste a comprendre ce qu est la mesure de dénombrement: mu(n)=1 pour tout n. Cela signifie que quand intègre par rapport à cette mesure tu mets juste un poids 1 sur les g(n) en les sommant. Résultat?

[Ncdk]

Je crois que je me trompe, mais dans la définition d'une mesure, c'est pas non plus équivalent à la continuité par la topologie ?
J'avais compris ça moi, car ma prof de TD a toujours dit qu'une fonction continue est mesurable, je me suis penché sur le sujet et la définition d'une application mesurable me fait penser à la continuité en topologie.

Ah donc ça veut dire que ?

J'aurai pu enlever l'indicatrice depuis un moment d'ailleurs, je viens de m'en rendre compte.

[MouLou]

Tu as raison de faire le parallèle car c'est exactement la même définition, sauf qu'au lieu de prendre des ouverts, on prend des ensembles mesurables, ce qui aboutit au fait suivant: les fonctions continues et les fonctions mesurables ne sont pas les mêmes.

Par contre, si tu prends pour tribus de départ et d'arrivée les tribus borélienne, alors une fonction continue est mesurable. La réciproque n'etant pas vrai puisque par définition toutes les indicatrices d'ensemble mesurable sont mesurables, mais pas continues!

Voici un extrait d'un poly qui contient la preuve que continue=> mesurable dans des cas de tribus boreliennes.

"Lemme 3.4. Soient X1 et X2 sont deux espaces topologiques et F P(X2) telle que (F) B(X2). Si f : X1 X2 est telle que f;)1(V) B(X1) pour tout V F alors f est bor elienne. En particulier toute fonction continue de X1 dans X2 est bor elienne.
D emonstration. Soit
N := {V X2 t.q. f;)1(V ) B(X1)}.
Par hypoth`ese, N contient tous les el ements de F. Comme d’autre part N est clairement une -alg`ebre, on a n ecessairement N (F) B(X2), ce qui termine la preuve."

Source complète:
http://www.ann.jussieu.fr/~smets/MM005/MM005_Chapitre_3.pdf

Pour la fin du calcul, oui c'est ça. Pour l'indicatrice, soit tu sommes de 0 à en mettant l'indicatrice soit tu peux la virer quand tu sommes de 0 à n.

[Ncdk]

D'accord merci pour l'éclaircissement :)

Du coup merci de l'aide, j'ai pu finir après, c'est un simple calcul :)

[mrif]

Pour la mesurabilité de f, comme la tribu de départ est l'ensemble des parties de N, toute fonction est mesurable, puisque l'image réciproque de n'importe quoi est une partie de N