Contractante

[zork]

Bonjour,

f(x)=x/(x+1) et f:[0,1]--->R. f est elle contractante?

j'ai montrer que |f(x)-f(y)|<=|x-y|. Je vais montrer que cette majoration est la plus précise

supposons qu'il existe k dans ]0,1[, pour tout x, y dans [0,1], |f(x)-f(y)|<=k|x-y|

y=0 on est ramené à comparé 1/(x+1)<=k et on voit que si x=0 on a 1<=k ce qui est impossible

donc f n'est pas contractante


est ce bon?


merci

[cuati]

Bonjour,
oui et non, d'un point de vu purement formel, pour montrer qu'une fonction f n'est pas contractante il faut nier la définition et donc montrer que pour tout k dans [0,1[, il existence x et y tels que .
Effectivement, prendre y=0 est une bonne idée puisque c'est au voisinage de 0 que va avoir lieu le problème... ensuite il faut dire comment on peut choisir x (dépendant de k) pour nier la k-contraction.
En gros comment prendre x pour que ...

[leon1789]

[quote="zork"]Bonjour,

f(x)=x/(x+1) et f:[0,1]--->R. f est elle contractante?

j'ai montrer que |f(x)-f(y)|0 telle que pour tous
Il vient alors en particulier pour tout (en posant y=0)
puis pour tout
alors il vient car...
et conclusion...

[leon1789]

[quote="zork"]Bonjour,

f(x)=x/(x+1) et f:[0,1]--->R. f est elle contractante?

j'ai montrer que |f(x)-f(y)|0 telle que pour tous
Il vient alors en particulier pour tout (en posant y=0)
puis pour tout
alors il vient car...
et conclusion...

[leon1789]

[quote="zork"]Bonjour,

f(x)=x/(x+1) et f:[0,1]--->R. f est elle contractante?

j'ai montrer que |f(x)-f(y)|0 telle que pour tous
Il vient alors en particulier pour tout (en posant y=0)
puis pour tout
alors il vient car...
et conclusion...

[zork]

je suis d'accord avec vous, je fais une erreur logique
mais je ne comprend pas pourquoi (leon1789) tu prend x dans ]0,1], il faudrait donc regarder en x=0 à part


Que pensez si au lieu de poser x=0 dans ma démo, je prend une suite xn=1/n
du coup, j'aurai en passant à la limite 1/(1+xn)-->0

[leon1789]

je suis d'accord avec vous, je fais une erreur logique
mais je ne comprend pas pourquoi (leon1789) tu prend x dans ]0,1], il faudrait donc regarder en x=0 à part

pourquoi aurait-on besoin de regarder x=0 ? est-ce que tu as besoin de regarder ? Non. Tu comprends bien que l'on prend x et y comme on veut, mais de manière à conclure quelque chose... Tous les cas particuliers qui ne conduisent à rien n'ont pas lieu d'être.

Que pensez si au lieu de poser x=0 dans ma démo, je prend une suite xn=1/n
du coup, j'aurai en passant à la limite 1/(1+xn)-->1:!:

Exactement, c'est comme ça que l'on montre !
Et tu vois bien qu'on n'a pas besoin de x=0 (qui en réalité n'apporte rien du tout une fois quand y=0).

[zork]

d'accord merci de votre aide à vous 2