[MPSI]Complexes

[Anonyme]

Bonjours j'ai quelques soucis sur un problème avec des complexes :
voila l'énoncé

Soit a,b,c,d quatres complexes tels que : c est non nul, ad-bc est non nul.
g est la fonction de C dans C qui à z associe (az+b)/(cz+d) (appelée
homographie).

1) Montrer que l'application h de C\{-d/c} dans C\{a/c} qui à z associe g(z)
est bijection.
Ca c'est bon, pas de problème
2) Montrer que g possède un ou deux points invariants.
Ca c'est bon aussi (le point invariant est donné par une équation du second
degré dans C à deux solutions éventuellement confondues).

Jusque la ca va, mais après ca va plus :)

3) On suppose que g possède un seul point invariant t. Montrer que pour tout
complexe z différent de t et -d/c,
1/(g(z)-t) = 1/(z-t) + 2c/(a+d)

4) Montrer que si g possède deux points invariants r et u, alors pour tout
comlpexe z différent de u et -d/c,
(g(z)-r)/(g(z)-u) = (cu+d)/(cr+d) * (z-r)/(z-u)

Voilà si vous pouviez m'éclairer ou me dire par quel bout aborder ces
questions, ca me sauverait ! Merci d'avance !

[Anonyme]

In article ,
"noublato" wrote:

> 3) On suppose que g possède un seul point invariant t. Montrer que pour tout
> complexe z différent de t et -d/c,
> 1/(g(z)-t) = 1/(z-t) + 2c/(a+d)

Commence par réécrire ça de façon plus symétrique, ie
1/(g(z) - g(t))
En travaillant là-dessus, tu obtiendras
(cz+d)(ct+d)/((ad-bc)(z-t)).
Puis tu peux décomposer cette FR en deux parties,
c(ct+d)/(ad-bc) + (ct+d)^2/(ad-bc) 1/(z-t)

Pour calculer le coefficient de 1/(z-t), (ct+d)^2/(ad-bc),
il suffit de calculer explicitement t en fonction de a, b, c et d,
en utilisant le fait que le discriminant est nul, puis de réutiliser
encore une fois la nullité du discriminant.

Pour le terme constant, il suffit de remplacer ad-bc en utilisant la
nullité du discriminant.

> 4) Montrer que si g possède deux points invariants r et u, alors pour tout
> comlpexe z différent de u et -d/c,
> (g(z)-r)/(g(z)-u) = (cu+d)/(cr+d) * (z-r)/(z-u)

C'est plus simple ici : remplace r et u par g(r) et g(u),
et c'est bon.

Camille
--
Le Tournoi des Villes a lieu le 9 novembre

infos@tournoidesvilles.fr
http://www.tournoidesvilles.fr

[Anonyme]

lol par hasard... ne serais tu pas taupin au lycée Kleber de
strasbourg...? :>
pour S, il me semble que tu as une suite geometrique, z= e^i(2pi/7),
en utilisant la formule de la somme d une suite geometrique, tu
devrais t en sortir koike c un peu trivial, je t'explicite ce qui me
vient à l esprit lol
Pour T, un peu plus delicat tu calcules la somme de la suite z^3+z^6
chose facile... exemple
S= e^i(2pi/7)* (e^i(6pi/7)-1)/(e^i(2pi/7)-1)
le dividende, lol heu je ne suis pas sur ke ça soit cela mais en bref
la partie du haut tu la simplifies par e^i(3pi/7), n oublie pas ke
1=e^0
la partie du bas simplifies par e^i(pi/7)
tu tombes sur la formule d euler... lol tjrs pas sur de l orthographe
de ce monsieur
pour T tu fais de mm sauf que tu effectues ta somme geom juste avec
z^3 et z^6
T= e^i(6pi/7)* (e^i(12pi/7)-1)/(e^i(6pi/7)-1) + e^i(10pi/7)
pour montrer ke T et S sont conjugués...
heu petite reflexion... (lol je reflechis...)
admettons soit Z = x+yi, on a Z + Z/ = 2X
essayes de voir si tu trouves un truc du genre sans partie imaginaire
lors de l addition de T et S en bref un peu comme 2X...
pour la suite... bah tu vois :>

[Anonyme]

"noublato" a écrit
> Soit a,b,c,d quatres complexes tels que : c est non nul, ad-bc est non
nul.
> g est la fonction de C dans C qui à z associe (az+b)/(cz+d) (appelée
> homographie).
>
> 1) Montrer que l'application h de C\{-d/c} dans C\{a/c} qui à z
associe g(z)
> est bijection.
> Ca c'est bon, pas de problème
> 2) Montrer que g possède un ou deux points invariants.
> Ca c'est bon aussi (le point invariant est donné par une équation du
second
> degré dans C à deux solutions éventuellement confondues).
>
> Jusque la ca va, mais après ca va plus
>
> 3) On suppose que g possède un seul point invariant t. Montrer que
pour tout
> complexe z différent de t et -d/c,
> 1/(g(z)-t) = 1/(z-t) + 2c/(a+d)
>
S'il n'y a qu'un point invariant t, on a
(a - d)² + 4cb = 0, et t = (a - d)/2c, d'où b = -ct².
En posant x' = g(z) - t et x = z - t, ou g(z) = x' + t et z = x + t, il
vient :
x' + t = [a(x + t) + b]/[c(x + t) + d],
soit
(x' + t)(c(x + t) + d) - a(x + t) - b = 0
ou, en remplaçant b par -ct² et t par (a - d)/2c :
cxx' + x'(a + d)/2 - x(a + d)/2 = 0
D'où
1/x' = 1/x + 2c/(a + d)

> 4) Montrer que si g possède deux points invariants r et u, alors pour
tout
> comlpexe z différent de u et -d/c,
> (g(z)-r)/(g(z)-u) = (cu+d)/(cr+d) * (z-r)/(z-u)
>
S'il y a deux points invariants r et u, on a ru = -b/c et r + u = (a -
d)/c.
Posons h = (cu + d)/(cr + d).
1 - h = c(r - u)/(cr + d)
rh - u = d(r - u)/(cr + d) = d(1 - h)/c
uh - r = [c(u² - r²) + d(u - r)]/(cr + d) =(u - r)[c(u + r) + d]/(cr +
d) =-a(1 - h)/c.
Donc (en posant pour alléger g(z) = z' :
(z' - r)(z - u) - h(z' - u)(z - r) = z'z(1 - h) + z'(rh - u) + z(uh - r)
+ ur(1 - h) =
=(1 - h)(z'z + dz'/c - az/c - b/c) = (1- h)(cz'z + dz' - az - b)/c = 0.
CQFD

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

ptdrrrrrr
excusez moi!!! g erroné!!! grave erreur!!!
c pas une suite du tt!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c l alcool qui me fait dire des betises lol (je ne bois pas)
ttes mes excuses...
bon je v le faire pour me faire excuser