[MPSI]Complexes

[Anonyme]

Bonjour tout le monde, j'ai un petit soucis avec les complexes :

Soit z le complexe z = cos(2Pi/7) + i.sin(2Pi/7)
On pose S= z + z^2 + z^4
et T = z^3 + z^5 + z^6

et il faut montrer que S et T sont conjugués et que la partie imaginaire de
S est strictement positive...
et je bloque :(

J'ai essayé d'isoler les parties imaginaires de S et T avec la formule de
Moivre, ce qui donne pour a = 2Pi/7 :
S = ( cos(a) + cos(2a) + cos(4a) ) + i.(sin(a) + sin(2a) + sin(4a) )
T = ( cos(3a) + cos(5a) + cos(6a) ) + i.(sin(3a) + sin(5a) + sin(6a) )

et j'arrive pas à prouver par exemple que cos(a) + cos(2a) + cos(4a) =
cos(3a) + cos(5a) + cos(6a)...

qq'un aurait pas un petit coup de pouce à donner, ou éventuellement une
autre piste de résolutions plus astucieuse ?

merci beaucoup !

[Anonyme]

snip

> et j'arrive pas à prouver par exemple que cos(a) + cos(2a) + cos(4a) =
> cos(3a) + cos(5a) + cos(6a)...

Normal vu que c'est faux ^^

Peut-être une erreur de calcul dans la linéarisation ?

[Anonyme]

Dans le message :3f9abb12$0$2792$626a54ce@news.free.fr,
VS a écrit :
> snip
>[color=green]
>> et j'arrive pas à prouver par exemple que cos(a) + cos(2a) + cos(4a)
>> = cos(3a) + cos(5a) + cos(6a)...
>
> Normal vu que c'est faux ^^
>
> Peut-être une erreur de calcul dans la linéarisation ?[/color]

Bonsoir,
Ce n'est pas faux si a = 2pi/7 comme dans l'énoncé. C'est même vrai.
--
Cordialement
Bruno

[Anonyme]

"tautaupe" a écrit dans le message news:
3f9ab29d$0$6966$7a628cd7@news.club-internet.fr...
> Bonjour tout le monde, j'ai un petit soucis avec les complexes :
>
> Soit z le complexe z = cos(2Pi/7) + i.sin(2Pi/7)
> On pose S= z + z^2 + z^4
> et T = z^3 + z^5 + z^6
>
> et il faut montrer que S et T sont conjugués

Le conjugué d'un nb complexe de module 1 est son inverse. Or, ici z^7=1.

>et que la partie imaginaire de
> S est strictement positive...

Fais un dessin et tu te convaincras que c'est immédiat à prouver.

[Anonyme]

> Bonsoir,
> Ce n'est pas faux si a = 2pi/7 comme dans l'énoncé. C'est même vrai.

En effet je croyais qu'il avait annoncé que a = 2pi/7 après. Au temps pour
moi donc.

[Sphinx]

Répartis les points a,b,c,d,e,f,g sur le cercle trigonométrique de façon que a=1,b=e(2ipi/7)=z,c=e(4ipi/7),d=e(6ipi/7),e=e(8ipi/7),f=e(10ipi/7),g=e(12ipi/7)
Tu verras que b et g sont conjugués,ainsi que c et f,et d et e.
S=b+c+e et T=d+f+g
Tu vois tout de suite que S et T sont conjugués.