Cloture algebrique d'un corps fini : F

par **barbu23** » 22 Jan 2010, 22:27

Bonsoir à tous :

D'après un cours d'algèbre, voiçi ce qui est écrit en résumé :
Soit

un corps fini.
Il existe un unique morphisme d'anneau :

.

s'appelle corps premier de

est un sous anneau de

et puisqu'il est fini, intègre, donc c'est un corps.
Par passage au quotient :

avec :

la caractéristique de

.
Par conséquent :

est un

- espace vectoriel, c'est à dire un :

- espace vectoriel.
On suppose que :

, alors

.
On va noter desormais :

.
Alors :

Et donc ,

.
Donc :

:

i.e :

:

i.e :

Question :
Je voudrais savoir à quoi est égale exactement :

? Quels sont explicitement toutes ses éléments ?

Merci d'avance !

par **Ben314** » 22 Jan 2010, 22:44

F(barre) est la cloture algébrique de F.
Il est infini (aucun corps fini ne peut être algébriquement clos : c'est super façile à voir...) et ces éléments sont... les racines de tout les polynômes à coeff. dans F.
Sauf erreur, on peut voir la cloture algébrique comme la "réunion" des F_q où q=p^(n!) (factorielle n) ce qui peut peut-être permettre de mieux se représenter les éléments...

par **Doraki** » 23 Jan 2010, 00:45

barbu23 a écrit:Donc : :

sauf pour x = 0.

Le truc c'est que le polynôme X^q - X est de degré q, et chacun des q éléments de F en est une racine. Donc il se factorise complètement sur F :

par **barbu23** » 23 Jan 2010, 13:50

Merci beaucoup pour ce que vous m'ecrivez là Ben314 et Doraki ! c'est clair maintenant ! :happy3:

par **barbu23** » 23 Jan 2010, 14:03

Ben314 a écrit:Aucun corps fini ne peut être algebriquement clos ?

Si on suppose qu'il existe un corps fini :

algébriquemet clos :

, alors :

( non nul ) :

Celà signifie que :

est fini ( absurde )
C'est bien comme ça ? :happy3:
EDIT :

( non nul ) :

i.e :

:

avec :

( Or, il me semble que par exemple :

contient des irréductibles, ce qui est absurde )
Correct ou non ?

par **Joker62** » 23 Jan 2010, 14:23

Yo :)

Haileau, pour tout x dans un corps quelconque, il existe un polynôme à coeff dans ce corps qui l'annule : X-x par exemple... Donc ça tient pas trop la route.

Prend F un corps fini = {a1,a2,...,an} et trouve un polynôme à coeff dans F qui n'admet pas de racines dans F.

(Pense à la démo sur l'infinité des nombres premiers)

par **barbu23** » 23 Jan 2010, 14:26

Oui, Joker relis ce que j'ai écrit , j'ai réediter mon dernier message avant celui là ! :happy3:

par **Joker62** » 23 Jan 2010, 14:42

Ah nan mais lol contre-exemple suffit à casser ton ptit délire mathématique cité plus haut lol

par **barbu23** » 23 Jan 2010, 14:46

Je comprends pas bien ce que tu veux dire là ! relis la partie EDIT ! ensuite, tu m'ecris où est le passage ou mon delire est flagrant ! :happy3:

par **Joker62** » 23 Jan 2010, 14:51

Le délire c'est surtout avant le édit.
Or ce qu'il y a dans le édit est la preuve du délire.

Conclusion, le tout est un délire :)

Pour tout z dans Fbarre = F alors il existe un P dans F[X] tel que P(z) = 0
Alors F[X] est fini. Absurde.

D'après ma remarque, tout corps vérifie ton : "pour tout z il existe un polynôme tel que P(z) =0" , donc y'a un soucis au niveau de l'hypothèse "algébriquement clos"...

par **barbu23** » 23 Jan 2010, 14:53

Tu la rectifie alors, je vois pas encore où est le problème ! :hum: :cry:

par **barbu23** » 23 Jan 2010, 14:57

Non, je ne parle pas de celà : Pour tout z dans Fbarre = F alors il existe un P dans F[X] tel que P(z) = 0
Alors F[X] est fini. Absurde.
Mais ce qu'il y'a après EDIT ! :happy3:

par **Joker62** » 23 Jan 2010, 15:02

Ben pour moi l'édit n'apporte rien de nouveau.

Tant qu'il y aura un "il me semble" ça tiendra pas la route.
Explique ce qui est absurde pour voir...

par **barbu23** » 23 Jan 2010, 15:14

Ok ! l'erreur pour toi, et dans l'écriture

!On note comme ça alors :

! Donc, Ok, on gardes alors cette ecriture :

Alors, le reste de ce que j'ai écrit est pour moi reste toujours correct ! Où est le problème ? :hum: :happy3:

par **barbu23** » 23 Jan 2010, 16:10

svp, un petit coup de main ! :happy3:

par **yos** » 23 Jan 2010, 16:25

barbu23 a écrit: ( non nul ) :

Algébriquement clos ça veut dire à peu près l'inverse de ce que tu écris :

:

Et avec un corps fini tu as trop de polynômes par rapport au nombre de racines potentielles donc ça marche pas.

par **barbu23** » 23 Jan 2010, 17:40

yos a écrit:Et avec un corps fini tu as trop de polynômes par rapport au nombre de racines potentielles donc ça marche pas.

Je ne pense pas que ce que tu dis est correct yos ! :happy3:
Regarde par ici :
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_alg%C3%A9brique

par **yos** » 23 Jan 2010, 18:26

Oui ben c'est pas pas la même chose.
Que lis-tu là :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%B4ture_alg%C3%A9brique ?

par **barbu23** » 23 Jan 2010, 19:40

Maisn j'arrive pas à faire la difference entre ces deux articles ! :happy3:

par **yos** » 23 Jan 2010, 20:19

Un corps K est algébriquement clos quand tous les polynômes à coefs dans K sont scindés sur K.

La cloture algébrique d'un corps k est le plus petit surcorps de k qui soit algébriquement clos (l'existence et l'unicité à iso près d'un tel surcorps est un théorème).

Cloture algebrique d'un corps fini : F

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