Champs vectoriels

[Archytas]

Salut, dans mon cours il y a écrit:
"Problème : avoir des champs vectoriels en tout point. (Ce n'est pas toujours possible)"
Et moi un peu naïvement j'ai envie de dire pourquoi pas :
Avec M une variété différentielle, TM le fibré tangent et des coordonnées locales
(avec d qui est en fait un d rond et V va de M dans TM)
Où est mon erreur ?

[Ben314]

Quelle "erreur" ?
Tu cherche à construire quoi ?
Si c'est un truc défini sur toute la variété, on t'a jamais un "tout petit peu signalé" que, lorsque l'on construit des objets sur les cartes locales, ça serait un soupson cohérent de vérifier que les trucs construits se recollent entre les différentes cartes ?

[Archytas]

Ah oui pardon... c'est défini que sur un ouvert si on prend des coordonnées locales
Je voulais construire un champs vectoriel en tout point... d'ailleurs je pense qu'il manque un truc dans l'énoncé du problème, j'ai indiqué par une étoile que j'avais pas compris un truc que la prof avait dit
"Problème : avoir des champs vectoriels en tout point (non vide)*" et donc j'avais dû mal lire/entendre le "non vide" parce qu'un champs vectoriel non vide n'a pas trop de sens j'imagine puisque c'est une application. Ce serait pas "non nul" ou autre chose selon vous ?
Et si on prend une carte globale du coup mon exemple marche puisqu'alors il sera défini sur toute la variété, non ?

[Doraki]

oui à mon avis il a plutôt voulu dire "non nul" parceque un vecteur non vide ça ne veut pas dire grand chose ; et si t'as un fibré vectoriel, tu as toujours le champ de vecteur nul qui en est une section globale, mais c'est pas franchement ce qu'il y a de plus intéressant.

Sinon tu veux dire quoi par carte globale ? est-ce que ça existe pour des trucs qui ne sont pas homéomorphes à R^n ?

[Ben314]

A mon avis, c'est "partout non nul" qu'il faut lire (ce qui est évidement très différent de "non nul")
Quand aux variétés qui admettent une "carte globale", a mon sens, ça n'a quasiment aucun intérêt vu que pour les étudier on peut parfaitement se passer de la notion de variétés...

Le cas sans doute le plus élémentaire de variété ne possédant pas de champs de vecteur partout non nul est celui de la sphère S2 contenue dans R^3, (qui, bien sûr et comme la plupart des variétés n'admet pas de carte globale...)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... e_chevelue

[Archytas]

Ah super, j'avais déjà entendu parlé de ce théorème, j'avais jamais fait le rapprochement ! Merci pour tes réponses !
Dans l'énoncé il n'est pas précisé quelle structure de variété on prend pour la sphère, ça veut dire que ça marche pour tout atlas qu'on peut définir sur la sphère ?