Capes 2009

[MacManus]

Bonjour !!

Je suis en ce moment sur le sujet de la 1ere composition du Capes 2009, sur la partie 3 (Fonction Zeta de Riemann et nombres de Bernoulli)
Je suis arrivé à la partie 3.2 (Calcul de Zeta(2p)). J'ai répondu à toutes les questions de cette parite 3.2, exceptée la question 3.2.b, où même si j'ai montré l'égalité, je ne parviens pas à déduire la valeur de l'intégrale (je bloque un peu)

Voici le sujet : capes 2009

Il faut distinguer suivant la parite de n+m. Voici ce que je trouve ds le cas où n+m est pair (pour la valeur de l'integrale): Est-ce que c'est correct ? ds le cas où n+m est impair je pense que la valeur de cette intégrale est nulle seulement je vois pas trop comment le montrer à cette étape.

Merci pour votre aide!!

[mathelot]

bonjour,

c difficile de t'aider sans avoir fait le problème.

Il y a une formule qui égalise un espèce de produit hermitien
et un autre produit hermitien
fabriqué avec des coéfficients de fourier.

on applique cette formule aux fonctions périodiques
dont la restriction à [0;1] coincide avec les polynômes de Bernoulli.

la conjugaison complexe commute avec l'intégrale.

les coefficients sont sans doute les conjugués des

la série va donc sûrement donner 2 fois la partie réelle.
C'est donc une série à termes réels. Il est possible que les
termes d'indices m+n impairs soient ceux de la partie imaginaire
de la série donc de somme nulle (????)


a gauche, l'intégrale avec le produit des polynomes de Bernoulli doit se calculer sans doute en intégrant n ou m fois par parties pour supprimer un facteur de l'intégrande (on peut faire beaucoup de calculs formels avec
les polynômes de Bernoulli)

A droite, on a une série avec des coefficients de Fourier.
Tu peux p-e utiliser la théorie de Fourier (conditions de Dirichlet,
convergence dans L2,L1,etc..)
permuter une intégrale et une série (Fubini) pour obtenir quelque chose
qui ressemble à

[MacManus]

Oui il est vrai que les questions ne sont pas indépendantes les unes des autres et il faut mobiliser pas mal de résultats des questions précédentes, d'une manière générale. En tout cas en te lisant, je rejoins tout à fait tes explications. on trouve qu'effectivement les sont les conjugués des . Je suis d'accord avec ce que tu dis par la suite d'ailleurs.

Mais je n'ai même pas penser à te donner l'expression de ces coefficients : . Avec ce résultat, j'ai trouvé le résultat que j'ai donné au début sur la valeur de l'intégrale.

[mathelot]

.

ok.



à cause de la conjugaison .

il suffit d'écrire
car i et -i sont inverses et de regarder quand cette puissance est réelle

[MacManus]

D'accord je vais regarder tt ca de plus près et refaire mes calculs. Merci beaucoup mathelot.