Calcul de limite

[ArtyB]

Bonjour,

Un petit calcul de limites qui m'embête:

J'ai essayé en passant à la forme avec ln mais ça donne un produit de type

Si vous avez une piste cela m'aiderait beaucoup !
Merci !

[Ben314]

Salut,
Peut être faudrait il songer à utiliser le fait que

[ArtyB]

Merci de ta réponse !
En l'occurrence la forme logarithmique donne:

Je ne peux pas aboutir à une forme si ?

[WillyCagnes]

bjr

lim (1-1/x)^2x pour x ->+infini

je te propose la lim [(1-1/x)^x]² pour trouver [exp(-1)]^² =exp(-2) qd x ->+infini

[ArtyB]

Bonjour,
J'ai songé à calculer la limite de cette façon aussi mais comment trouver la limite de [(1-1/x)^x]^2 ?
J'ai essayé la forme mais je n'ai rien trouvé non plus

[WillyCagnes]

Merci de ta réponse !
En l'occurrence la forme logarithmique donne:

Je ne peux pas aboutir à une forme si ?

tu remplaces x par la division 1/x




cela tend vers -2 qd x tend +infini

d'ou exp(-2)

[ArtyB]

Ah oui !
Donc

et après j'utilise l'exponentielle et je trouve
C'est bien ça ?

Merci beaucoup à vous !

[WillyCagnes]

merci à Ben aussi!

[WillyCagnes]

a savoir aussi
lim n;)>;) (1+1/n)^n = e

donc
lim n;)>;) (1-1/n)^n = e^(-1)

lim n;)>;) [(1-1/n)^n]^² = e^(-1)^2=e^(-2)

[ArtyB]

Oui malin ça ! A force de la faire et de le voir ça rentrera !

Merci à vous deux !

[ArtyB]

J'en profite pour vous demander s'il y aurait une liste de limites à connaître par coeur qui servent très souvent comme le ln(1+h)/h ?

[WillyCagnes]

regarde donc ton cours!

voir ces liens
http://serge.mehl.free.fr/anx/lim_usuelles.html
http://www.jybaudot.fr/Analyse/limites.html
http://homeomath2.imingo.net/limexp.htm
http://www.annabac.com/content/limites-des-fonctions-logarithmes

[Ben314]

J'en profite pour vous demander s'il y aurait une liste de limites à connaître par coeur qui servent très souvent comme le ln(1+h)/h ?

Tu es sûr que ça serait pas légèrement plus malin d'apprendre "par coeur" que plutôt que d'apprendre 36 cas particulier par cœur ?

[ArtyB]

Merci pour les liens WillyCagnes !

Ben314: c'est pas faux haha, c'est vrai que c'est ça qui est à l'origine de beaucoup d'autres mais parfois j'ai du mal à remarquer la forme.
Mais du coup c'est aussi:
n'est-ce pas ?
(Les deux formules sont plus ou moins liées non ?)
Par exemple:

[Ben314]

Merci pour les liens WillyCagnes !

Ben314: c'est pas faux haha, c'est vrai que c'est ça qui est à l'origine de beaucoup d'autres mais parfois j'ai du mal à remarquer la forme.
Mais du coup c'est aussi:
n'est-ce pas ?
(Les deux formules sont plus ou moins liées non ?)

Les deux formules sont non seulement "liées", mais c'est très exactement deux fois la même (poser h=x-a).

Un réflexe automatique à avoir, c'est, dés qu'une limite est un tant soit peu compliquée à calculer, de se ramener à une limite en 0 (si x->xo on pose h=x-xo et, si x->oo on pose h=1/x).
Ça ne résous évidement rien du tout, mais ça permet de se ramener systématiquement au même cas de figure.

Par exemple, c'est pour cette raison là que dans les "limites à savoir par cœur" qu'on trouve dans les bouquins, celle concernant le fait que est quasi systématiquement écrite sous la forme et pas sous la forme (totalement équivalente) .

[zygomatique]

salut

ce qui est important et en particulier lorsqu'on a un quotient c'est d'essayer de reconnaître un taux de variation (par définition du nombre dérivée comme limite d'un taux de variation)

ainsi bon nombre de limites "à savoir par cœur" ne sont très souvent que des nombres dérivés ...

un autre classique :: dont la limite est sin'(0) = cos(0) = 1

...


:lol3:

[ArtyB]

Oui Ben314 c'est ce dont je me suis rendu compte deux secondes après avoir posté sans réfléchir haha.
Oui Zygomatique maintenant je vais essayer de chercher à chaque fois que c'est une limite un peu compliquée.
Merci beaucoup à vous !

Sinon il est fait mention des "développements asymptotiques" dans une page de mon polycopié mais sans aucune explication ni rien, et j'ai cherché dans des manuels: pareil il en ait fait rapidement mention mais aucune explication ni rien on me dit juste que cela sert à trouver des limites.
J'ai un seul exemple (qui n'est pas sans rappelé la limite évoquée dans ma question plus haut) sans aucune explication:



Quelqu'un peut il m'expliquer le principe des développements asymptotiques et m'expliquer l'application à l'exemple ci dessus s'il vous plaît ?

[zygomatique]

c'est simplement un développement limité soit :

au voisinage de l'infini (comme ton exemple)

au voisinage d'un point où la fonction n'est pas définie

EX :

donc f(x) est équivalent à 1/x au voisinage de l'infini ...

le développement asymptotique complet de f(x) est même ::



....