Calcul de limite

[elvis77]

Bonjour,

Je cherche à montrer que tend vers lorsque tend vers
Mais j'ai du mal. Merci pour votre aide.
Cordialement.

[Maxmau]

Bonjour,

Je cherche à montrer que tend vers lorsque tend vers
Mais j'ai du mal. Merci pour votre aide.
Cordialement.

Bj

Ecris le développement limité de ln(1+x) en zéro

[elvis77]

merci pour votre réponse,

Justement c'est pour essayer de comprendre le que j'ai posé cette question. Mais je n'arrive pas à montrer la limite car cela revient bien à montrer qu'en 0 on a me trompe-je?

[Black Jack]

Lhospital ...

lim(x--> 0) [...] est de la forme 0/0 et donc on applique la règle de Lhospital.

= lim(x--> 0) [(1/(1+x)-1+x-x²)/(3x²)] = lim(x--> 0) [(1-1+x-x²-x+x²-x³)/(3x²+3x^4)] = lim(x--> 0) [-x/(3+3x)] = 0
*****

Autrement : DL de ln(1+x) : x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + o(x^4)

lim(x--> 0) [...] = lim(x-->0) [(x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 - x + x²/2 - x³/3)/x³] = lim(x-->0) [-x/4] 0
*****
Qu'est ce qui te tracasse ?

:zen:

[jlb]

où epsilon tend vers 0 quand x tend vers 0.

Cela donne ta limite facilement

[elvis77]

Merci BlackJack, j'avais oublié cette règle de L'Hopital.
Ce qui me tracasse est de comprendre les petit o dans l'écriture d'un dl.
Mais je vais continuer à creuser et je pense que ça va venir.

[jlb]

o(x^3) =x^3.h(x) où h est une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers 0

[Ben314]

Sinon, c'est intéressant de voir que la méthode de black-jack avec ces "règle de l'Hôpital en cascade", et le coté "magique" qu'à chaque fois que tu dérive le numérateur les termes constants se simplifient, c'est en fait une des façons de démontrer la formule de Taylor-Young.

Une autre façon de procéder pour avoir le D.L. du (donc pour démontrer que la limite de ton truc est bien 0) c'est d'intégrer de 0 à x la formule bien connue pour et de constater que

[elvis77]

de constater que

comment le constates-tu ?
merci

[jlb]

comment le constates-tu ?
merci

tu majores l'expression à intégrer par t^(n+1) et tu utilises la propriété de croissance de l'intégrale par rapport aux fonctions: tu majores donc ta quantité par (1/(n+2)).x^(n+2)=x^(n+1). [x/(n+2)]=o(n+1) puisque x/(n+2) tend vers 0 qd x tend vers 0