Calcul de PI/4 grace a Arctangente

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Voici mon exercice :

1)a) En se basant sur le résultat que la fonction tangente est C(infini) sur ]-;)/2 ; /2[ expliquer pourquoi Arctangente est de classe C(infini) sur R.
1)b) Rappeler le calcul de DL(2n+1) en 0 de la fonction Arctangente notée f dans la suite.
1)c) En déduire les valeurs de f(k)(0), pour tout k entier appartenant a [0,2n+1].


2)a) Vérifier que cos²(f(x))=f’(x).

2)b) Démontrer par récurrence sur n que :
f(n)(x) = (n-1) ! cos^n (f(x)) sin (nf(x)+n /2).

Retrouver alors le résultat de la question 1)c)

2)c) En déduire un majorant simple de valeur absolue de f(n) sur R.


3)a) En appliquant la formule de Taylor pour f a l’ordre 4n+1 en tre 0 et 1 prouver qu’il existe pour tout n 1, un rée Rn tel que /4= Sn + Rn
avec valeur absolue de Rn;) 1/(4n+2)

3)b) Justifier que lim Sn= /4 quand n tend vers + l’infini

3)c) Que pensez vous de ola rapidité de convergence de la suite (Sn) vers sa limite ?

Je suis bloqué pour la question 2)b et 2)c pouvez vous m'aider merci

[Ben314]

Salut,
A priori, la 1), c'est (quasi) une question de cours :
Si f:I->R (I intervalle ouvert) est dérivable sur I et telle que f'>0 sur I (ou bien <0 sur I) alors f est une bijection de I sur l'intervalle J=f(I), sa bijection réciproque f^-1 est dérivable sur J et, pour tout y dans J, on a

En fait, la partie un peu compliqué du théorème, c'est la bijectivité qui résulte du théorème des valeurs intermédiares et surtout la continuité de la bijection réciproque (on peut invoquer pas mal d'arguments, mais forcément un peu techniques). La dérivabilité, c'est assez bateau.

[Maths-ForumR]

Donc il faut que je dise : que arctan sur R est une bijection de tang sur ]-;)/2 ; ;)/2[
Donc comme fonction tangente est C(infini) sur ]-;)/2 ; ;)/2[ alors arctan est C(infini) sur R ?

[Ben314]

Je sais pas sous quelle forme on t'a "vendu" le théorème en question, mais sous ça forme "basique" (i.e. celle que j'ai donné dans le post précédent), tu as uniquement la dérivabilité de la bijection réciproque f^-1, et il faut que tu justifie qu'elle est C^oo (en partant évidement du fait que la fonction tan l'est).

Après, dans ton cours, il y a éventuellement un corollaire qui te dit justement ça, mais c'est un corollaire très facile (donc facile à retrouver et c'est pas mal de savoir le faire)

[Maths-ForumR]

La dérivée de la bijection réciproque est : 1/1+x²
Or x² est de classe Cinf donc 1+x² aussi ce qui implique que 1:1+x² aussi
C'est le quotient de deux fonction de classe Cinf donc elle l'est également.
Le résonnement est -il correct ?

[Ben314]

Oui, dans ce cas là, ça marche parfaitement (après avoir démontré que la dérivée de f^-1 est x->1/(1+x²) bien sûr).

Sinon, dans le cas général où on sait uniquement que f est de classe C^n, on fait une récurrence :
On sait (théorème) que f^-1 est dérivable donc, si f' est dérivable alors f'of^{-1} va être dérivable ce qui signifie que (f^-1)' = 1 / f'of^-1 est dérivable... etc..

[Maths-ForumR]

D'accord merci !

Pour la 1)b. Dans mon cours j'ai cette formule : Arctan(x)= x - x^3/3 + o(x^3)
Mais ce n'est pas en 2n+1 comment faire pour la trouver ?

[Ben314]

P'têt en partant du D.L. de la dérivée qui est x->1/(1+x²)...

[Maths-ForumR]

C'est juste : Sigma (de k=0 à 2n+1) [(-1)^n x^(2n+1)] /2n+1 désolé pour l’écriture ?

[Ben314]

Oui, modulo que le k, ça sert pas bien à grand chose de le faire varier de 0 à 2n+1 : tel que tu l'écrit, ça te fait le D.L. à l'ordre 4n+3... :doh:
Et bien sûr, dans le sigma, c'est des k qu'il faut mettre et pas des n : si tu somme un truc constant, ça a pas beaucoup d'intérêt.... :hein:

[Maths-ForumR]

Très bien merci !

Ensuite j'ai fais la question 2)a, 2)b, mais je bloque a la 2)c avez vous une piste ?

[Ben314]

Pour la 2)c), je pense que le truc (tout couillon) attendu, c'est simplement
De toute façon, pour n impair, on fera pas mieux vu que .
Pour n pair, il y a sans doute "légèrement mieux", mais vu qu'on ne demande qu'un majorant (simple) et pas la borne supérieure de ...

[Maths-ForumR]

l f(n) (0)l n'est pas égale a 0 ?
Car le terme en cosinus s'annule donc ça donne : (n-1) ! . 0 . sin (n ;)/2) = 0 non ?

[Ben314]

Perso (et jusqu'à aujourd'hui), il me semblait bien que :
1) f(0)=Artcan(0)=0
2) Cos^n(0)=1^n=1

Par contre, le Sin(n.f(0)+n.;)/2)=Sin(n.;)/2) vaudra 0 lorsque n est pair et +-1 pour n impair (d'où ma remarque)

[Maths-ForumR]

Ah oui pardon je me suis trompée