Bizarrerie

[Archytas]

Salut,
Dans un livre on défini X R Y ssi il existe une bijection entre X et Y et ils affirment que c'est presque une relation d'équivalence (à cause du paradoxe de Russel qui dit que R n'est pas définie). Jusque là ça va mais en suite on défini le cardinal de X, |X|={Y/ XRY} ça ressemble plus à la classe d'équivalence de X ça, non ? Pour moi le cardinal d'un ensemble c'est pas un ensemble d'ensembles c'est un nombre entier ou un aleph ou une lettre bizarre (je crois que vous appelez ça les ordinaux ou les cardinaux !?).
Bref, erreur de définition ? Ou l'auteur est un peu fantasque et redéfini le cardinal à sa sauce ?
Merci d'avance !

[Doraki]

En effet, ni la relation R, ni la classe d'équivalence de X, ne sont des ensembles.

Moi ma définition de |X|, c'est le plus petit ordinal Y tel que X R Y
Bien sur, l'opération |.| n'est pas une fonction, mais t'as cependant une formule f(X,Y) qui dit quand Y= |X| :
f(X,Y) = Y est un ordinal, Y R X, et pour tout Z (Z est un ordinal et Z R X => Y est inclus dans Z)

(et j'imagine qu'on a une preuve de pour tout X il existe un unique Y tel que f(X,Y) ? mais je suis pas sûr pour le coup)

[Archytas]

D'accord, merci beaucoup :happy2: . En effet un peu plus loin ils indiquent que dans le cas où {1;..;n} est dans |X| on dit que |X|= |{1;..;n}|"="n par convention ! Doraki désolé mais j'ai pas tout très bien compris ton message puisque j'ai pas encore vu les ordinaux !

[mathelot]

bonjour,

qu'est ce qu'un ordinal ? c'est un concept que j'aurai toujours aimé comprendre et que j'ai confondu longtemps avec les cardinaux.

si quelqu'un a le temps de me fournir de (longues) explications. :we:

[Ben314]

Salut,
Les cardinaux, c'est les classes d'équivalences des ensembles par la relation "être en bijection avec".
Les ordinaux, c'est les classes d'équivalences des ensembles bien ordonnées par la relation "être en bijection croissante avec"

Par exemple, l'ensemble a le même cardinal que , mais si on le muni de la relation d'ordre évidente qui va dessus, c'est un ensemble bien ordonné (i.e. totalement ordonné et tel que toute partie non vide admette un plus petit élément) mais qui n'est pas en bijection croissante avec l'ensemble bien ordonné .

[mathelot]

Salut,
Les cardinaux, c'est les classes d'équivalences des ensembles par la relation "être en bijection avec".
Les ordinaux, c'est les classes d'équivalences des ensembles bien ordonnées par la relation "être en bijection croissante avec"

Par exemple, l'ensemble a le même cardinal que , mais si on le muni de la relation d'ordre évidente qui va dessus, c'est un ensemble bien ordonné (i.e. totalement ordonné et tel que toute partie non vide admette un plus petit élément) mais qui n'est pas en bijection avec l'ensemble bien ordonné .

je ne comprend pas bien ta notation,car




alors que si je comprend bien

dans l'ordinal, il y a une difficulté dans le fait que l'infini vient après tous les entiers ?

merci Ben314, j'ai bien compris de quoi il retournait. :id:

[Doraki]

Les classes d'équivalences d'ensembles bien ordonnés, ça n'existe pas non plus dans ZFC.
Je pensais plutôt à la définition de Von Neumann (http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number#Von_Neumann_definition_of_ordinals)

Chaque classe d'équivalence a un représentant bien particulier, et ce sont eux qu'on appelle les ordinaux.

[Ben314]

Effectivement, dans ZFC, les classes d'équivalences ne sont pas des ensembles, mais ce sont des classes propres ce qui permet de travailler avec.
Après, à mon avis (donc ça vaut ce que ça vaut...), la définition à l'aide de classes d'équivalences de bijections croissantes sur les ensembles bien ordonnées permet au départ de mieux visualiser comment on définit la somme ou le produit de deux ordinaux.

[Ben314]

je ne comprend pas bien ta notation,car

Oui, mais lorsque l'on définit la somme de deux ordinaux, il faut fabriquer un ensemble totalement ordonné et pas uniquement un ensemble.
Donc dans le cas où A et B sont disjoints, de dire que la somme A+B est l'ensemble AuB n'est pas suffisant vu qu'il faut en plus dire quelle relation d'ordre on va prendre sur cet ensemble AuB.
Il y a deux possibilités simples : Soit on décrète que les élément de A sont plus petits que ceux de B (définition de A+B) , soit le contraire (définition de B+A)

Par exemple, dans "mon" , il est sous entendu que la relation d'ordre qu'on met dessus et celle telle que pour tout . En terme d'addition, ça correspond à l'ordinal (où correspond à )
L'ordinal correspondrait lui à l'ensemble ordonné dans lequel l'élément ajouté est tel que pour tout .
Sauf que car l'ensemble est dans la même classe d'ordinal que vu que l'application définie par est bijective et croissante.